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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2012

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determine para qué valores del parámetro aa el conjunto de vectores S={(1,a,1),(1−a,a−1,0),(1,1,a)}S = \{ (1, a, 1), (1 - a, a - 1, 0), (1, 1, a) \} forma una base de R3\mathbb{R}^3.1,25 pts
b
Estudie el rango del conjunto de vectores SS en los casos en que no forme una base de R3\mathbb{R}^3.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto A=(0,1,2)A = (0, 1, 2) y es perpendicular a la rectar:{2x+y−z=−1x−y+z=3 r: \begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ x - y + z = 3 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x(x+1x−1−1)f(x) = x \left( \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} - 1 \right), se pide:
a
Dominio de definición.0,75 pts
b
Calcule lim⁡x→1+f(x)\lim_{x \to 1^+} f(x). ¿Es posible calcular también lim⁡x→1−f(x)\lim_{x \to 1^-} f(x)? Justifique la respuesta.0,5 pts
c
Calcule lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
De todas las primitivas de la función f(x)=e2x1+exf(x) = \frac{e^{2x}}{1 + e^x}, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,1)(0, 1).
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Dada la matriz A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}, calcule las potencias A2A^2, A3A^3 y A4A^4.1,25 pts
b
Calcule A2012A^{2012}.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las rectas rr y ss dadas por las ecuacionesr:x7=ya−4=z+65a−6ys:x−53=y−1−1=z−64 r: \frac{x}{7} = \frac{y}{a - 4} = \frac{z + 6}{5a - 6} \quad \text{y} \quad s: \frac{x - 5}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 6}{4}
a
Estudie la posición relativa de rr y ss en función del parámetro aa.2 pts
b
Calcule el punto de corte de rr y ss en los casos en que se corten.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función dada porf(x)={x2−3x+asi x≤0−x2+bx+b+1si x>0 f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + a & \text{si } x \leq 0 \\ -x^2 + bx + b + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} Determine los valores de los parámetros aa y bb para los cuales f(x)f(x) es continua y derivable en todo R\mathbb{R}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule el área comprendida entre la curvay=36+2x2 y = \frac{3}{6 + 2x^2} el eje de abscisas y las rectas verticales que pasan por los puntos de inflexión de dicha curva.
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