Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2019

Determina el valor de $a$ y de $b$ para que la siguiente función $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$ $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 2 & \text{si } x \leq 1 \\ a\sqrt{x} - \frac{b}{x^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

Comprueba si la función $f(x) = x^2 - 4$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[-3, 3]$.

Calcula razonadamente el área de los recintos limitados por la función $g(x) = -x^2 + 2x + 3$, la recta $x = -2$ y el eje de abscisas.

Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $g(x)$ en el punto de abscisa $x = 4$.

Encuentra razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de las funciones $f(x)$ y $g(x)$.

Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$ $$\left. \begin{array}{rrcrcrc} ax & + & 2y & & & = & a^2 \\ -x & + & y & + & z & = & 5 \\ x & - & ay & - & z & = & -(4 + a) \end{array} \right\}$$

Resuélvelo razonadamente para el valor $a = 1$.

Calcula razonadamente la matriz inversa de $A$.

Calcula razonadamente la matriz $X$ que verifica que $A \cdot X - 2B = C$.

Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que contiene a la recta que pasa por $A$ y $B$ y es paralelo a la recta que pasa por $C$ y $D$.

Calcula razonadamente el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos $A, B, C$ y $D$.

Calcula la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P$ y por el punto $Q$, siendo $Q$ el punto de corte de la recta $r$ y el plano paralelo a $\pi$ que contiene a $P$.

Una fábrica A produce el 30 % de los tractores que se demandan en una Comunidad Autónoma, una fábrica B produce el 20 % y la fábrica C el resto. El controlador de calidad sabe que son defectuosos el 4 % de los tractores fabricados por A, el 10 % de los fabricados por B y el 2 % de los fabricados por C. Elegido un tractor al azar, calcula razonadamente la probabilidad de:

En una clase hay 16 chicas y 4 chicos. Cada día elijo a un estudiante al azar para que salga a la pizarra. Calcula razonadamente la probabilidad de que los cinco días laborables de la semana salgan a la pizarra:

Una alarma de seguridad tiene instalados dos sensores. Ante una emergencia los sensores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer sensor es de $0{,}98$ y de que se active el segundo es de $0{,}96$. Calcula razonadamente la probabilidad de que ante una emergencia:

El tiempo, en horas, empleado en realizar cierta intervención quirúrgica sigue una distribución normal $N(10, 2)$. Calcular razonadamente el porcentaje de estas intervenciones que se pueden realizar: