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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2019

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla binomial y tabla N(0,1) como anexo. El estudiante deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Dentro de cada opción el estudiante elegirá cuatro ejercicios entre los cinco propuestos. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. Duración de la prueba: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determina el valor de aa y de bb para que la siguiente función f(x)f(x) sea derivable en todo R\mathbb{R}f(x)={ax2+bx+2si x≤1ax−bx2si x>1f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 2 & \text{si } x \leq 1 \\ a\sqrt{x} - \frac{b}{x^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}1,5 pts
b
Comprueba si la función f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−3,3][-3, 3].1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente el área de los recintos limitados por la función g(x)=−x2+2x+3g(x) = -x^2 + 2x + 3, la recta x=−2x = -2 y el eje de abscisas.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función g(x)g(x) en el punto de abscisa x=4x = 4.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}ax+2y=a2−x+y+z=5x−ay−z=−(4+a)}\left. \begin{array}{rrcrcrc} ax & + & 2y & & & = & a^2 \\ -x & + & y & + & z & = & 5 \\ x & - & ay & - & z & = & -(4 + a) \end{array} \right\}1,5 pts
b
Resuélvelo razonadamente para el valor a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los puntos A(1,2,0)A(1, 2, 0), B(0,−1,2)B(0, -1, 2), C(2,−1,3)C(2, -1, 3) y D(1,0,1)D(1, 0, 1):
a
Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que contiene a la recta que pasa por AA y BB y es paralelo a la recta que pasa por CC y DD.1,25 pts
b
Calcula razonadamente el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A,B,CA, B, C y DD.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Una fábrica A produce el 30 % de los tractores que se demandan en una Comunidad Autónoma, una fábrica B produce el 20 % y la fábrica C el resto. El controlador de calidad sabe que son defectuosos el 4 % de los tractores fabricados por A, el 10 % de los fabricados por B y el 2 % de los fabricados por C. Elegido un tractor al azar, calcula razonadamente la probabilidad de:1,25 pts
a1
No salga defectuoso.0,75 pts
a2
Si resultó defectuoso, que no fuera fabricado por C.0,5 pts
b
En una clase hay 16 chicas y 4 chicos. Cada día elijo a un estudiante al azar para que salga a la pizarra. Calcula razonadamente la probabilidad de que los cinco días laborables de la semana salgan a la pizarra:1,25 pts
b1
Tres chicas.0,75 pts
b2
Al menos tres chicos.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcula razonadamente los siguientes límites:
a
lim⁡x→1(2ex−1x+1)xx−1\lim_{x \to 1} \left( \frac{2e^{x-1}}{x+1} \right)^{\frac{x}{x-1}}1,25 pts
b
lim⁡x→−1−ex2−1−xx2+4x+3\lim_{x \to -1} \frac{-e^{x^2-1}-x}{x^2+4x+3}1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2} y g(x)=x22g(x) = \frac{x^2}{2} con x∈Rx \in \mathbb{R}.
a
Encuentra razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).1 pt
b
Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas matricesA=(−1−1−1−1102−10),B=(1220111−12)yC=(011110012)A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
a
Calcula razonadamente la matriz inversa de AA.1 pt
b
Calcula razonadamente la matriz XX que verifica que A⋅X−2B=CA \cdot X - 2B = C.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean la recta r≡x−13=y1=z+12r \equiv \frac{x-1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}, el punto P(3,1,−1)P(3, 1, -1) y el plano π≡2x+y−z=0\pi \equiv 2x + y - z = 0.
a
Calcula la distancia del punto PP a la recta rr.1,25 pts
b
Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto PP y por el punto QQ, siendo QQ el punto de corte de la recta rr y el plano paralelo a π\pi que contiene a PP.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Una alarma de seguridad tiene instalados dos sensores. Ante una emergencia los sensores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer sensor es de 0,980{,}98 y de que se active el segundo es de 0,960{,}96. Calcula razonadamente la probabilidad de que ante una emergencia:1,25 pts
a1
Se active al menos uno de los dos sensores.0,75 pts
a2
Se active solo uno de los sensores.0,5 pts
b
El tiempo, en horas, empleado en realizar cierta intervención quirúrgica sigue una distribución normal N(10,2)N(10, 2). Calcular razonadamente el porcentaje de estas intervenciones que se pueden realizar:1,25 pts
b1
Entre 6,56{,}5 y 1313 horas.0,75 pts
b2
En menos de siete horas.0,5 pts
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