Matemáticas II · Cantabria 2012

Halla para qué valores del parámetro $m$ la matriz $A$ es regular (inversible).

Estudia para qué valores del parámetro $m$ el sistema $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ tiene solución.

Para $m = 1$, calcula las soluciones del sistema dado en el apartado anterior.

Determina la matriz $A$ que verifica: $\det(A) = -7$ y $A \cdot B = C$.

Sean $A$, $B$, $C$ las matrices dadas arriba y que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuál de las igualdades siguientes se cumple. Justifica tu respuesta.

Estudia la derivabilidad de la función $f$.

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$. Dibuja su gráfica.

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$, el eje de abscisas ($y = 0$) y las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$.

Considera la función $g(x) = \frac{ax^2 + b}{x - 1}$ definida para $x \neq 1$.

Determina si la función $f(x) = x |x|$ es derivable en $x = 0$.

Determina para qué valor del parámetro $m$ los tres puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados y calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que los contiene.

Determina los valores del parámetro $m$ para los que el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es igual a $\frac{\sqrt{5}}{2}$ unidades de superficie.

Para $m = 0$, calcula la ecuación general del plano que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$.

Determina la ecuación de la recta $s$ que corta perpendicularmente a la recta $r$ y que pasa por el punto $P = (0, 2, 2)$.

Halla el punto $O$ dado por la intersección de las rectas $r$ y $s$.

Calcula la ecuación general del plano $\pi$ que contiene a las rectas $r$ y $s$, y la ecuación de la recta $r_1$ perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $Q$.