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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2012

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. 2. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la matriz A=(111mm2m2mmm2)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{pmatrix} con m∈Rm \in \mathbb{R}.
a
Halla para qué valores del parámetro mm la matriz AA es regular (inversible).1 pt
b
Estudia para qué valores del parámetro mm el sistema A⋅(xyz)=(111)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} tiene solución.0,75 pts
c
Para m=1m = 1, calcula las soluciones del sistema dado en el apartado anterior.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considera la función: f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1|
a
Estudia la derivabilidad de la función ff.1,25 pts
b
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff. Dibuja su gráfica.1,25 pts
c
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas (y=0y = 0) y las rectas verticales x=−1x = -1 y x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera los puntos A=(1,1,−1)A = (1, 1, -1), B=(0,3,1)B = (0, 3, 1) y C=(2,m−2,−3)C = (2, m - 2, -3).
a
Determina para qué valor del parámetro mm los tres puntos AA, BB y CC están alineados y calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que los contiene.1,25 pts
b
Determina los valores del parámetro mm para los que el área del triángulo de vértices AA, BB y CC es igual a 52\frac{\sqrt{5}}{2} unidades de superficie.1,25 pts
c
Para m=0m = 0, calcula la ecuación general del plano que contiene a los puntos AA, BB y CC.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera las matrices A=(xyyz)A = \begin{pmatrix} x & y \\ y & z \end{pmatrix}, B=(26−1−3)B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} y C=(−4−1213)C = \begin{pmatrix} -4 & -12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
a
Determina la matriz AA que verifica: det⁡(A)=−7\det(A) = -7 y A⋅B=CA \cdot B = C.2,25 pts
b
Sean AA, BB, CC las matrices dadas arriba y que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuál de las igualdades siguientes se cumple. Justifica tu respuesta.1 pt
b.1
A=C⋅B−1A = C \cdot B^{-1}
b.2
B=A−1⋅CB = A^{-1} \cdot C
b.3
A−1=B⋅C−1A^{-1} = B \cdot C^{-1}
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Considera la función g(x)=ax2+bx−1g(x) = \frac{ax^2 + b}{x - 1} definida para x≠1x \neq 1.
a.1
Calcula los valores de aa y bb para que la gráfica de gg pase por el punto (2,2)(2, 2) y tenga una asíntota oblicua de pendiente 11.1,25 pts
a.2
Para a=1a = 1 y b=1b = 1, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de gg en el punto de abscisa x=−1x = -1.1,25 pts
b
Determina si la función f(x)=x∣x∣f(x) = x |x| es derivable en x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera la recta r≡{3x+2y−z−1=0x+y−1=0r \equiv \begin{cases} 3x + 2y - z - 1 = 0 \\ x + y - 1 = 0 \end{cases}
a
Determina la ecuación de la recta ss que corta perpendicularmente a la recta rr y que pasa por el punto P=(0,2,2)P = (0, 2, 2).1,25 pts
b
Halla el punto OO dado por la intersección de las rectas rr y ss.0,75 pts
c
Calcula la ecuación general del plano π\pi que contiene a las rectas rr y ss, y la ecuación de la recta r1r_1 perpendicular al plano π\pi y que pasa por el punto QQ.1,25 pts
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