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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2016

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Dada la función f(x)={ln⁡(1−x)1−xsi x<0xe−xsi x≥0f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\ln(1-x)}{1-x} & \text{si } x < 0 \\ \\ xe^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano, se pide:
a)1 pts
Estudiar la continuidad de ff y calcular lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).
b)0,5 pts
Calcular la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en x=2x = 2.
c)1,5 pts
Calcular ∫−11f(x)dx\int_{-1}^{1} f(x) dx.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales: {3x+y+mz=1x−y+2z=−25x+(m+1)y+2z=4\begin{cases} 3x + y + mz = 1 \\ x - y + 2z = -2 \\ 5x + (m+1)y + 2z = 4 \end{cases} se pide:
a)2 pts
Discutirlo según los valores del parámetro mm.
b)0,5 pts
Resolverlo en el caso m=0m = 0.
c)0,5 pts
Resolverlo en el caso m=2m = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
a)1,5 pts
Despeje XX en la ecuación matricial X(CD)−1=A+X(D−1C−1−B)X(CD)^{-1} = A + X(D^{-1}C^{-1} - B), siendo A,B,C,DA, B, C, D matrices cuadradas invertibles. Exprese XX de la forma más simple posible.
b)1,5 pts
Para A=(20−1101211),B=(11−1−101111)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} determine la matriz YY tal que YB=AYB = A.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Se consideran los puntos A(0,5,3),B(0,6,4),C(2,4,2)A(0, 5, 3), B(0, 6, 4), C(2, 4, 2) y D(2,3,1)D(2, 3, 1) y se pide:
a)1 pts
Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios y que el polígono ABCDABCD es un paralelogramo.
b)1 pts
Calcular el área de dicho paralelogramo.
c)1 pts
Determinar el lugar geométrico de los puntos PP cuya proyección sobre el plano ABCDABCD es el punto medio del paralelogramo.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Dados los planos π1≡ax+y−z+1=0\pi_1 \equiv ax + y - z + 1 = 0 y π2≡x+ay+z−2=0\pi_2 \equiv x + ay + z - 2 = 0, determine, en caso de que existan, el valor o posibles valores del parámetro aa, para cada uno de los siguientes supuestos:
a)0,5 pts
Que π1\pi_1 y π2\pi_2 sean paralelos.
b)0,5 pts
Que π1\pi_1 y π2\pi_2 sean perpendiculares.
c)1 pts
Que la recta intersección de π1\pi_1 y π2\pi_2 sea perpendicular al plano x=yx = y.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
a)1 pts
Determine el polinomio f(x)f(x), sabiendo que f′′′(x)=12f'''(x) = 12, para todo x∈Rx \in \mathbb{R} y además verifica: f(1)=3;f′(1)=1;f′′(1)=4f(1) = 3; f'(1) = 1; f''(1) = 4.
b)1 pts
Determine el polinomio g(x)g(x), sabiendo que g′′(x)=6g''(x) = 6, para todo x∈Rx \in \mathbb{R} y que además verifica: ∫01g(x)dx=5,∫02g(x)dx=14.\int_{0}^{1} g(x) dx = 5, \quad \int_{0}^{2} g(x) dx = 14.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Dado el punto P(2,1,−1)P(2, 1, -1), determine el punto simétrico de PP respecto al plano que pasa por los puntos A(0,2,−1),B(1,−3,0)A(0, 2, -1), B(1, -3, 0) y C(2,1,1)C(2, 1, 1).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Estudie la continuidad y la derivabilidad en x=0x = 0 y en x=1x = 1 de f(x)={0si x≤0∣xln⁡x∣si x>0f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \leq 0 \\ |x \ln x| & \text{si } x > 0 \end{cases}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.
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