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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1a1^{\mathrm{a}} y 2a2^{\mathrm{a}} se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3a3^{\mathrm{a}} y 4a4^{\mathrm{a}} sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la función f(x)={ln⁡(1−x)1−xsi x<0xe−xsi x≥0f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\ln(1-x)}{1-x} & \text{si } x < 0 \\ \\ xe^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano, se pide:
a
Estudiar la continuidad de ff y calcular lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).1 pt
b
Calcular la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en x=2x = 2.0,5 pts
c
Calcular ∫−11f(x)dx\int_{-1}^{1} f(x) dx.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Despeje XX en la ecuación matricial X(CD)−1=A+X(D−1C−1−B)X(CD)^{-1} = A + X(D^{-1}C^{-1} - B), siendo A,B,C,DA, B, C, D matrices cuadradas invertibles. Exprese XX de la forma más simple posible.1,5 pts
b
Para A=(20−1101211),B=(11−1−101111)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} determine la matriz YY tal que YB=AYB = A.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dados los planos π1≡ax+y−z+1=0\pi_1 \equiv ax + y - z + 1 = 0 y π2≡x+ay+z−2=0\pi_2 \equiv x + ay + z - 2 = 0, determine, en caso de que existan, el valor o posibles valores del parámetro aa, para cada uno de los siguientes supuestos:
a
Que π1\pi_1 y π2\pi_2 sean paralelos.0,5 pts
b
Que π1\pi_1 y π2\pi_2 sean perpendiculares.0,5 pts
c
Que la recta intersección de π1\pi_1 y π2\pi_2 sea perpendicular al plano x=yx = y.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dado el punto P(2,1,−1)P(2, 1, -1), determine el punto simétrico de PP respecto al plano que pasa por los puntos A(0,2,−1),B(1,−3,0)A(0, 2, -1), B(1, -3, 0) y C(2,1,1)C(2, 1, 1).
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales:{3x+y+mz=1x−y+2z=−25x+(m+1)y+2z=4\begin{cases} 3x + y + mz = 1 \\ x - y + 2z = -2 \\ 5x + (m+1)y + 2z = 4 \end{cases}se pide:
a
Discutirlo según los valores del parámetro mm.2 pts
b
Resolverlo en el caso m=0m = 0.0,5 pts
c
Resolverlo en el caso m=2m = 2.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se consideran los puntos A(0,5,3),B(0,6,4),C(2,4,2)A(0, 5, 3), B(0, 6, 4), C(2, 4, 2) y D(2,3,1)D(2, 3, 1) y se pide:
a
Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios y que el polígono ABCDABCD es un paralelogramo.1 pt
b
Calcular el área de dicho paralelogramo.1 pt
c
Determinar el lugar geométrico de los puntos PP cuya proyección sobre el plano ABCDABCD es el punto medio del paralelogramo.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Determine el polinomio f(x)f(x), sabiendo que f′′′(x)=12f'''(x) = 12, para todo x∈Rx \in \mathbb{R} y además verifica: f(1)=3;f′(1)=1;f′′(1)=4f(1) = 3; f'(1) = 1; f''(1) = 4.1 pt
b
Determine el polinomio g(x)g(x), sabiendo que g′′(x)=6g''(x) = 6, para todo x∈Rx \in \mathbb{R} y que además verifica:∫01g(x)dx=5,∫02g(x)dx=14.\int_{0}^{1} g(x) dx = 5, \quad \int_{0}^{2} g(x) dx = 14.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Estudie la continuidad y la derivabilidad en x=0x = 0 y en x=1x = 1 de f(x)={0si x≤0∣xln⁡x∣si x>0f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \leq 0 \\ |x \ln x| & \text{si } x > 0 \end{cases}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.
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