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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2020

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Consideremos la matriz A=(x−25−x)A = \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}. Estudie para qué valores de xx la matriz inversa de la matriz AA coincide con su opuesta, es decir, A−1=−AA^{-1} = -A.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Un fabricante tuvo un producto a la venta durante diez años. Durante este tiempo, el precio del producto PP, en euros, estuvo relacionado con el tiempo que hacía que estaba a la venta tt, expresado en años, siguiendo la función siguiente:P(t)={5(t+1)2−5si 0≤t≤2−4t+48si 2<t≤10P(t) = \begin{cases} 5(t + 1)^2 - 5 & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\ -4t + 48 & \text{si } 2 < t \leq 10 \end{cases}
a
Indique los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del precio del producto durante estos diez años.1,25 pts
b
Encuentre el precio máximo que alcanzó el producto durante el tiempo que estuvo a la venta y calcule la tasa de variación media del precio del producto durante los últimos cinco años que estuvo a la venta.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Una conocida marca fabrica dos versiones de una misma fragancia: el perfume, que es más concentrado y que se vende en botellas pequeñas que cuestan 70 euros, y la colonia, que es más diluida y que se vende en botellas más grandes a 82 euros. En la fabricación hay que mezclar dos ingredientes: el ingrediente A (que contiene el aroma concentrado) y el ingrediente B (que contiene alcohol y otras sustancias). En estos momentos el fabricante dispone de 5.000 ml5.000\,\text{ml} del ingrediente A y de 30.000 ml30.000\,\text{ml} del ingrediente B. Para fabricar una botella de perfume se necesitan 10 ml10\,\text{ml} del ingrediente A y 40 ml40\,\text{ml} del ingrediente B, y para fabricar una de colonia se necesitan 10 ml10\,\text{ml} del ingrediente A y 90 ml90\,\text{ml} del ingrediente B. Los pedidos actuales obligan a fabricar al menos 120 unidades de perfume y 70 unidades de colonia.
a
Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible.1,25 pts
b
¿Cuántas unidades hay que producir de cada versión para obtener, una vez vendidas, unos ingresos máximos? ¿Cuáles son estos ingresos?1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Consideremos las funciones f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b y g(x)=−x2+cg(x) = -x^2 + c.
a
Calcule los valores de los parámetros a,ba, b y cc para que las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x) se corten en los puntos (−1,3)(-1, 3) y (3,−5)(3, -5).1,25 pts
b
Para c=4c = 4, encuentre la ecuación de la recta tangente a g(x)g(x) en el punto de abscisa x=−1x = -1.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Un triatlón consta de tres segmentos que hay que realizar consecutivamente practicando tres modalidades de deporte diferentes: natación, ciclismo y carrera a pie. La distancia total que se recorrerá en el triatlón es de 75 km75\,\text{km}. Sabemos que el recorrido en bicicleta es igual a cuatro veces la distancia que hay que recorrer nadando y corriendo conjuntamente. Sabemos también que si sumamos 3 km3\,\text{km} a la distancia que se hace corriendo nos da lo mismo que cinco veces el recorrido que se hace nadando. Determine la distancia recorrida en cada modalidad.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
La función Q(x)=(x+1)2(32−x)Q(x) = (x + 1)^2 (32 - x), en la que x∈[−1,32]x \in [-1, 32], representa la producción, en kilogramos, de una hortaliza en un invernadero en función de la temperatura xx, expresada en grados centígrados (∘C^{\circ}\text{C}), que puede variar entre −1 ∘C-1\,^{\circ}\text{C} y 32 ∘C32\,^{\circ}\text{C}.
a
Calcule cuál es la temperatura del invernadero con la que se obtiene la máxima producción. ¿Qué producción de hortaliza obtendremos a esta temperatura?1,25 pts
b
Calcule a qué temperaturas se alcanza el nivel mínimo de producción y cuál es este valor mínimo.1,25 pts
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