Matemáticas CCSS · Cataluña 2020

Consideremos la matriz $A = \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}$. Estudie para qué valores de $x$ la matriz inversa de la matriz $A$ coincide con su opuesta, es decir, $A^{-1} = -A$.

Un fabricante tuvo un producto a la venta durante diez años. Durante este tiempo, el precio del producto $P$, en euros, estuvo relacionado con el tiempo que hacía que estaba a la venta $t$, expresado en años, siguiendo la función siguiente: $$P(t) = \begin{cases} 5(t + 1)^2 - 5 & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\ -4t + 48 & \text{si } 2 < t \leq 10 \end{cases}$$

Una conocida marca fabrica dos versiones de una misma fragancia: el perfume, que es más concentrado y que se vende en botellas pequeñas que cuestan 70 euros, y la colonia, que es más diluida y que se vende en botellas más grandes a 82 euros. En la fabricación hay que mezclar dos ingredientes: el ingrediente A (que contiene el aroma concentrado) y el ingrediente B (que contiene alcohol y otras sustancias). En estos momentos el fabricante dispone de $5.000\,\text{ml}$ del ingrediente A y de $30.000\,\text{ml}$ del ingrediente B. Para fabricar una botella de perfume se necesitan $10\,\text{ml}$ del ingrediente A y $40\,\text{ml}$ del ingrediente B, y para fabricar una de colonia se necesitan $10\,\text{ml}$ del ingrediente A y $90\,\text{ml}$ del ingrediente B. Los pedidos actuales obligan a fabricar al menos 120 unidades de perfume y 70 unidades de colonia.

Consideremos las funciones $f(x) = x^2 + ax + b$ y $g(x) = -x^2 + c$.

Un triatlón consta de tres segmentos que hay que realizar consecutivamente practicando tres modalidades de deporte diferentes: natación, ciclismo y carrera a pie. La distancia total que se recorrerá en el triatlón es de $75\,\text{km}$. Sabemos que el recorrido en bicicleta es igual a cuatro veces la distancia que hay que recorrer nadando y corriendo conjuntamente. Sabemos también que si sumamos $3\,\text{km}$ a la distancia que se hace corriendo nos da lo mismo que cinco veces el recorrido que se hace nadando. Determine la distancia recorrida en cada modalidad.

La función $Q(x) = (x + 1)^2 (32 - x)$, en la que $x \in [-1, 32]$, representa la producción, en kilogramos, de una hortaliza en un invernadero en función de la temperatura $x$, expresada en grados centígrados ($^{\circ}\text{C}$), que puede variar entre $-1\,^{\circ}\text{C}$ y $32\,^{\circ}\text{C}$.