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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2023

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(2132)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, B=(2−1−32)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} y la matriz identidad de orden dos I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a
Compruebe que (A−2I)2=3I(A - 2I)^2 = 3I.0,5 pts
b
Utilizando la igualdad del apartado anterior, halle la matriz inversa de la matriz AA en función de las matrices AA e II, y compruebe que coincide con la matriz BB.1,25 pts
c
Calcule la matriz XX que satisface la igualdad A⋅X=BA \cdot X = B.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}.
a
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=2x = 2.0,75 pts
b
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=kx = k, donde kk es un número real positivo.0,75 pts
c
Compruebe que, tal como se puede ver en la figura de abajo, la recta del apartado b determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule esta área.1 pt
Gráfica de la función f(x) = 1/x y una recta tangente que forma un triángulo sombreado con los ejes.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea el sistema de ecuaciones lineales {2x+y=1+zmy+z=2−xmz+3=3x+y\begin{cases} 2x + y = 1 + z \\ my + z = 2 - x \\ mz + 3 = 3x + y \end{cases}, donde mm es un número real.
a
Discuta el sistema según los valores del parámetro mm.1,25 pts
b
Resuelva el sistema, si tiene solución, para el caso m=1m = 1.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)f(x) definida por f(x)=−3x+e2x3−1f(x) = -3x + e^{2x^3 - 1}.
a
Justifique que f(x)=2f(x) = 2 tiene una solución en el intervalo (−1,0)(-1, 0).1,25 pts
b
Sea la función h(x)=−3x2+e2x3−1h(x) = -3x^2 + e^{2x^3 - 1}. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f(x)f(x) y h(x)h(x).1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean r1r_1 y r2r_2 las rectas definidas por r1:x−1=y=−zr_1: x - 1 = y = -z y por r2:x=y=zr_2: x = y = z, respectivamente.
a
Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas r1r_1 y r2r_2.1,75 pts
b
Calcule la distancia entre r1r_1 y r2r_2.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Queremos construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden 10 mm10\,\text{mm}, tal como se puede observar en la figura siguiente:
Diagrama de un trapecio isósceles con base inferior x, base superior 3x y lados laterales de 10 mm.
a
Exprese la altura del trapecio en función de la longitud xx de la base inferior.0,5 pts
b
Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de manera que el área de la pieza sea máxima y halle el valor de esta área máxima.2 pts
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