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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2023

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(2132)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, B=(2−1−32)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} y la matriz identidad de orden dos I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a)0,5 pts
Compruebe que (A−2I)2=3I(A - 2I)^2 = 3I.
b)1,25 pts
Utilizando la igualdad del apartado anterior, halle la matriz inversa de la matriz AA en función de las matrices AA e II, y compruebe que coincide con la matriz BB.
c)0,75 pts
Calcule la matriz XX que satisface la igualdad A⋅X=BA \cdot X = B.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}.
a)0,75 pts
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=2x = 2.
b)0,75 pts
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=kx = k, donde kk es un número real positivo.
c)1 pts
Compruebe que, tal como se puede ver en la figura de abajo, la recta del apartado b determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule esta área.
Gráfica de la función f(x) = 1/x y una recta tangente que forma un triángulo sombreado con los ejes.
Gráfica de la función f(x) = 1/x y una recta tangente que forma un triángulo sombreado con los ejes.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea el sistema de ecuaciones lineales {2x+y=1+zmy+z=2−xmz+3=3x+y\begin{cases} 2x + y = 1 + z \\ my + z = 2 - x \\ mz + 3 = 3x + y \end{cases}, donde mm es un número real.
a)1,25 pts
Discuta el sistema según los valores del parámetro mm.
b)1,25 pts
Resuelva el sistema, si tiene solución, para el caso m=1m = 1.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)f(x) definida por f(x)=−3x+e2x3−1f(x) = -3x + e^{2x^3 - 1}.
a)1,25 pts
Justifique que f(x)=2f(x) = 2 tiene una solución en el intervalo (−1,0)(-1, 0).
b)1,25 pts
Sea la función h(x)=−3x2+e2x3−1h(x) = -3x^2 + e^{2x^3 - 1}. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f(x)f(x) y h(x)h(x).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean r1r_1 y r2r_2 las rectas definidas por r1:x−1=y=−zr_1: x - 1 = y = -z y por r2:x=y=zr_2: x = y = z, respectivamente.
a)1,75 pts
Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas r1r_1 y r2r_2.
b)0,75 pts
Calcule la distancia entre r1r_1 y r2r_2.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Queremos construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden 10 mm10\,\text{mm}, tal como se puede observar en la figura siguiente:
Diagrama de un trapecio isósceles con base inferior x, base superior 3x y lados laterales de 10 mm.
Diagrama de un trapecio isósceles con base inferior x, base superior 3x y lados laterales de 10 mm.
a)0,5 pts
Exprese la altura del trapecio en función de la longitud xx de la base inferior.
b)2 pts
Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de manera que el área de la pieza sea máxima y halle el valor de esta área máxima.
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