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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2019

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
En una tienda de comida a granel tienen a la venta tres tipos de judías secas: blancas, canela y pintas. Estas se venden a 2,752{,}75, 33 y 2,502{,}50 euros el kilogramo, respectivamente. Ayer se vendieron 4040 kilos en total por un valor de 111,5111{,}5 euros. La suma de los kilogramos de judías blancas y canela vendidas fueron el triple de las pintas.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos kilogramos de judías de cada tipo se vendieron.1,5 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1,5 puntos
Dadas las matrices A=(324)A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, B=(215)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}, C=(−1020−1−2024)C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} y D=(4−5−34)D = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}.
a
Calcula A⋅B−CTA \cdot B - C^T.0,75 pts
b
Comprueba que la matriz CC no tiene inversa y explica la razón por la que el producto D2⋅BD^2 \cdot B no puede ser realizado.0,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
1,5 puntos
En un taller se confeccionan prendas vaqueras con dos tipos de tejidos de distinta calidad (T1,T2)(T_1, T_2). Disponen de 160 m2160\,\text{m}^2 del tejido T1T_1 y 240 m2240\,\text{m}^2 del tejido T2T_2. Hacen dos conjuntos: Uno con chaqueta y falda y otro con cazadora y pantalón. El primero utiliza 2 m22\,\text{m}^2 de T1T_1 y 3 m23\,\text{m}^2 de T2T_2, el conjunto del pantalón utiliza 1 m21\,\text{m}^2 de T1T_1 y 3 m23\,\text{m}^2 de T2T_2. El conjunto con falda cuesta 250250 euros y el del pantalón 350350 euros.
a
Expresa la función objetivo.0,25 pts
b
Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.1 pt
c
Calcula el número de conjuntos de cada tipo que deben hacer para obtener máximas ganancias.0,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Los precios de un gimnasio son diferentes según la franja horaria dispuesta en tres turnos: mañana, mediodía y tarde. Este mes han acudido 150150 personas por la mañana, 3030 en la franja del mediodía y 270270 por la tarde y el gimnasio ha ingresado un total de 1590015900 euros. La diferencia entre el precio de la tarde y la mañana equivale a la mitad del precio para el mediodía y al sumar los precios del mediodía y la tarde obtenemos el doble del precio de la mañana.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuál es el precio de cada franja horaria.1,5 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={x+tsi x≤−34si −3<x<3(x−4)2−5si x≥3f(x) = \begin{cases} x + t & \text{si } x \leq -3 \\ 4 & \text{si } -3 < x < 3 \\ (x - 4)^2 - 5 & \text{si } x \geq 3 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=−3x = -3.0,5 pts
b
Para t=7t = 7, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={−x−4si x<c−3si c≤x≤0x2−10xsi x>0f(x) = \begin{cases} -x - 4 & \text{si } x < c \\ -3 & \text{si } c \leq x \leq 0 \\ x^2 - 10x & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
¿Para qué valor de cc la función f(x)f(x) es continua en x=cx = c?0,5 pts
b
Calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (0,+∞)(0, +\infty).0,5 pts
c
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (0,+∞)(0, +\infty).0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
Sabemos que la función f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c tiene un mínimo en el punto (1,1)(1,1) y corta al eje de ordenadas en 44. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros aa, bb y cc.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
Los costes de fabricación de un modelo de vehículo C(x)=−x3+45x2−243x+500C(x) = -x^3 + 45x^2 - 243x + 500 (en miles de euros) en función del número de vehículos (en cientos) fabricados (1≤x≤27)(1 \leq x \leq 27).
a
Determina la cantidad de vehículos que dan el coste máximo y mínimo.1 pt
b
¿A qué valor ascienden ambos?0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
En una universidad el 40%40\% de los estudiantes son aficionados a la lectura, el 50%50\% al cine, y al 70%70\% les gusta el cine o la lectura o ambas cosas.
a
Se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la lectura y el cine?0,75 pts
b
Si elegimos un estudiante al azar y le gusta la lectura, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el cine?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
El 5%5\% de los estudiantes matriculados en una determinada asignatura de bachillerato son deportistas aficionados. El 0,5%0{,}5\% de estos alumnos deportistas aficionados obtienen una calificación de suspenso en dicha asignatura. Mientras que el 15%15\% de los alumnos no deportistas aficionados obtienen una calificación de suspenso.
a
Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya obtenido un suspenso en la citada asignatura?0,75 pts
b
Sabiendo que un alumno elegido al azar ha obtenido un suspenso, ¿cuál es la probabilidad de que sea deportista aficionado?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
El tiempo de uso de móvil por día de los alumnos de un instituto sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=20\sigma = 20 minutos. Se eligió una muestra aleatoria de 3636 alumnos y se observó que la media de tiempo usando el móvil para esa muestra era de 22 horas.
a
Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de uso de móvil por día con un nivel de confianza del 95%95\%.0,75 pts
b
¿Se puede admitir que la media poblacional sea μ=2,3\mu = 2{,}3 horas con un nivel de confianza del 95%95\%? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas.0,5 pts
c
¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100100 y un nivel de confianza del 94,64%94{,}64\%?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
El contenido en grasas saturadas por litro de leche sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=0,1 g/l\sigma = 0{,}1\,\text{g/l}. Se tomó una muestra aleatoria de 100100 litros de leche obteniéndose el intervalo de confianza (0,682,0,718)(0{,}682, 0{,}718) para el contenido medio de grasas saturadas en la muestra.
a
Calcula el contenido medio de grasas saturadas para los 100100 litros de leche de la muestra.0,25 pts
b
Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo.0,75 pts
c
Halla un intervalo de confianza para el contenido medio de grasas saturadas con un nivel de confianza del 95%95\%.0,5 pts
d
¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con un nivel de confianza del 95%95\%, el error máximo admisible sea menor que 0,01 g/l0{,}01\,\text{g/l}?0,5 pts
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