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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responde solo a los ejercicios de una de las opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 2 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 3 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Dada la matriz M=(mm+411)M = \begin{pmatrix} m & m + 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, calcula mm para que M−1=14MM^{-1} = \frac{1}{4} M.1 pt
b
Dadas las matrices A=(−101)A = (-1 \quad 0 \quad 1), B=(301)B = (3 \quad 0 \quad 1) y C=(4−20)C = (4 \quad -2 \quad 0), calcula la matriz XX que verifica: Bt⋅A⋅X+Ct=XB^t \cdot A \cdot X + C^t = X, siendo BtB^t y CtC^t las traspuestas de BB y CC respectivamente.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula: intervalos de crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos relativos de f(x)=x−1x2f(x) = \frac{x - 1}{x^2}.1,5 pts
b
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x2−4xy = x^2 - 4x y la recta y=x−4y = x - 4. (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes, el vértice y concavidad o convexidad).1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
a
Determina el valor de λ\lambda para que los puntos A(3,0,−1)A(3, 0, -1), B(2,2,−1)B(2, 2, -1), C(1,−2,−5)C(1, -2, -5) y D(λ,6,−1)D(\lambda, 6, -1) sean coplanarios y calcula la ecuación implícita o general del plano que los contiene.1 pt
b
Determina la posición relativa del plano π:4x+2y−3z−15=0\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0 y la recta rr que pasa por los puntos P(−4,4,2)P(-4, 4, 2) y Q(4,8,−4)Q(4, 8, -4). Si se cortan, calcula el punto de corte.1 pt
c
Calcula el punto simétrico del punto P(−4,4,2)P(-4, 4, 2) respecto del plano π:4x+2y−3z−15=0\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En las rebajas de unos grandes almacenes están mezcladas y a la venta 200 bufandas de la marca A, 150 de la marca B y 50 de la marca C. La probabilidad de que una bufanda de la marca A sea defectuosa es 0,010{,}01; 0,020{,}02 si es de la marca B y 0,040{,}04 si es de la marca C. Una persona elige una bufanda al azar.
a
Calcula la probabilidad de que la bufanda elegida sea de la marca A o defectuosa.0,75 pts
b
Calcula la probabilidad de que la bufanda elegida no sea defectuosa ni de la marca C.0,5 pts
c
Si la bufanda elegida no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones:{3x−6y+mz=0x−2y+z=0x+y=m\begin{cases} 3x - 6y + mz = 0 \\ x - 2y + z = 0 \\ x + y = m \end{cases}
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el sistema de ecuaciones.1 pt
b
Resuélvelo, si es posible, cuando m=3m = 3.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula aa y bb para que la función f(x)={e2x+ax+bsi x<012(x2+2)si x≥0f(x) = \begin{cases} e^{2x} + ax + b & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{2}(x^2 + 2) & \text{si } x \geq 0 \end{cases} sea continua y derivable en x=0x = 0.1 pt
b
Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es el (0,0)(0,0), otro está sobre el eje X, otro sobre el eje Y y el otro sobre la recta 2x+3y=82x + 3y = 8.1 pt
c
Calcula ∫03xx+1 dx\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} \, dx.1 pt
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Ejercicio 3

3
3 puntos
a
Dado el plano π:2x−y−2z−3=0\pi: 2x - y - 2z - 3 = 0, calcula el valor de aa para que la recta rr que pasa por los puntos P(a,a,a)P(a, a, a) y Q(1,3,0)Q(1, 3, 0) sea paralela al plano π\pi.1 pt
b
Para a=1a = 1, calcula la distancia de rr a π\pi.1 pt
c
Para a=1a = 1, calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a π\pi y contiene a rr.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con 4 respuestas de las cuales solo una es correcta. Si se contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de contestar bien al menos dos preguntas?1 pt
b
La duración de un cierto tipo de pilas eléctricas es una variable que sigue una distribución normal de media 50 horas y desviación típica 5 horas. Calcula la probabilidad de que una pila eléctrica de este tipo, elegida al azar, dure menos de 42 horas.1 pt
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