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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2018

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
a)1 pts
Dada la matriz M=(mm+411)M = \begin{pmatrix} m & m + 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, calcula mm para que M−1=14MM^{-1} = \frac{1}{4} M.
b)1 pts
Dadas las matrices A=(−101)A = (-1 \quad 0 \quad 1), B=(301)B = (3 \quad 0 \quad 1) y C=(4−20)C = (4 \quad -2 \quad 0), calcula la matriz XX que verifica: Bt⋅A⋅X+Ct=XB^t \cdot A \cdot X + C^t = X, siendo BtB^t y CtC^t las traspuestas de BB y CC respectivamente.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones: {3x−6y+mz=0x−2y+z=0x+y=m\begin{cases} 3x - 6y + mz = 0 \\ x - 2y + z = 0 \\ x + y = m \end{cases}
a)1 pts
Discute, según los valores del parámetro mm, el sistema de ecuaciones.
b)1 pts
Resuélvelo, si es posible, cuando m=3m = 3.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
a)1,5 pts
Calcula: intervalos de crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos relativos de f(x)=x−1x2f(x) = \frac{x - 1}{x^2}.
b)1,5 pts
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y=x2−4xy = x^2 - 4x y la recta y=x−4y = x - 4. (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes, el vértice y concavidad o convexidad).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
a)1 pts
Calcula aa y bb para que la función f(x)={e2x+ax+bsi x<012(x2+2)si x≥0f(x) = \begin{cases} e^{2x} + ax + b & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{2}(x^2 + 2) & \text{si } x \geq 0 \end{cases} sea continua y derivable en x=0x = 0.
b)1 pts
Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es el (0,0)(0,0), otro está sobre el eje X, otro sobre el eje Y y el otro sobre la recta 2x+3y=82x + 3y = 8.
c)1 pts
Calcula ∫03xx+1 dx\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} \, dx.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
a)1 pts
Determina el valor de λ\lambda para que los puntos A(3,0,−1)A(3, 0, -1), B(2,2,−1)B(2, 2, -1), C(1,−2,−5)C(1, -2, -5) y D(λ,6,−1)D(\lambda, 6, -1) sean coplanarios y calcula la ecuación implícita o general del plano que los contiene.
b)1 pts
Determina la posición relativa del plano π:4x+2y−3z−15=0\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0 y la recta rr que pasa por los puntos P(−4,4,2)P(-4, 4, 2) y Q(4,8,−4)Q(4, 8, -4). Si se cortan, calcula el punto de corte.
c)1 pts
Calcula el punto simétrico del punto P(−4,4,2)P(-4, 4, 2) respecto del plano π:4x+2y−3z−15=0\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
a)1 pts
Dado el plano π:2x−y−2z−3=0\pi: 2x - y - 2z - 3 = 0, calcula el valor de aa para que la recta rr que pasa por los puntos P(a,a,a)P(a, a, a) y Q(1,3,0)Q(1, 3, 0) sea paralela al plano π\pi.
b)1 pts
Para a=1a = 1, calcula la distancia de rr a π\pi.
c)1 pts
Para a=1a = 1, calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a π\pi y contiene a rr.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
En las rebajas de unos grandes almacenes están mezcladas y a la venta 200 bufandas de la marca A, 150 de la marca B y 50 de la marca C. La probabilidad de que una bufanda de la marca A sea defectuosa es 0,010{,}01; 0,020{,}02 si es de la marca B y 0,040{,}04 si es de la marca C. Una persona elige una bufanda al azar.
a)0,75 pts
Calcula la probabilidad de que la bufanda elegida sea de la marca A o defectuosa.
b)0,5 pts
Calcula la probabilidad de que la bufanda elegida no sea defectuosa ni de la marca C.
c)0,75 pts
Si la bufanda elegida no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
a)1 pts
Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con 4 respuestas de las cuales solo una es correcta. Si se contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de contestar bien al menos dos preguntas?
b)1 pts
La duración de un cierto tipo de pilas eléctricas es una variable que sigue una distribución normal de media 50 horas y desviación típica 5 horas. Calcula la probabilidad de que una pila eléctrica de este tipo, elegida al azar, dure menos de 42 horas.
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