Matemáticas II · Andalucía 2010

Dada la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida como $f(x) = a \sen(x) + bx^2 + cx + d,$ determina los valores de las constantes $a, b, c$ y $d$ sabiendo que la gráfica de $f$ tiene tangente horizontal en el punto $(0, 4)$ y que la segunda derivada de $f$ es $f''(x) = 3 \sen(x) - 10$.

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - x^2 & \text{si } 0 < x < 1 \\ \frac{2}{x + 1} & \text{si } 1 \leq x \end{cases}$$ Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de $f$.

Sea la función $f$ dada por $f(x) = \frac{1}{x^2 + x}$ para $x \neq -1$ y $x \neq 0$. Determina la primitiva $F$ de $f$ tal que $F(1) = 1$.

Sean $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas por $f(x) = x^2 - 2x + 3$ y $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$.

Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} \lambda x + 2y + 6z = 0 \\ 2x + \lambda y + 4z = 2 \\ 2x + \lambda y + 6z = \lambda - 2 \end{cases}$$

De la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ se sabe que $\det(A) = 4$. Se pide:

Halla el punto simétrico de $P(1, 1, 1)$ respecto de la recta $r$ de ecuación $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-1}$$

Sean los puntos $A(2, \lambda, \lambda)$, $B(-\lambda, 2, 0)$ y $C(0, \lambda, \lambda - 1)$.