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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2010ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida como f(x)=asen⁡(x)+bx2+cx+d,f(x) = a \sen(x) + bx^2 + cx + d, determina los valores de las constantes a,b,ca, b, c y dd sabiendo que la gráfica de ff tiene tangente horizontal en el punto (0,4)(0, 4) y que la segunda derivada de ff es f′′(x)=3sen⁡(x)−10f''(x) = 3 \sen(x) - 10.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función ff dada por f(x)=1x2+xf(x) = \frac{1}{x^2 + x} para x≠−1x \neq -1 y x≠0x \neq 0. Determina la primitiva FF de ff tal que F(1)=1F(1) = 1.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones{λx+2y+6z=02x+λy+4z=22x+λy+6z=λ−2\begin{cases} \lambda x + 2y + 6z = 0 \\ 2x + \lambda y + 4z = 2 \\ 2x + \lambda y + 6z = \lambda - 2 \end{cases}
a
Discútelo según los valores del parámetro λ\lambda.1,75 pts
b
Resuélvelo para λ=2\lambda = 2.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Halla el punto simétrico de P(1,1,1)P(1, 1, 1) respecto de la recta rr de ecuaciónx−12=y3=z+1−1\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-1}
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida porf(x)={e−xsi x≤01−x2si 0<x<12x+1si 1≤xf(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - x^2 & \text{si } 0 < x < 1 \\ \frac{2}{x + 1} & \text{si } 1 \leq x \end{cases}Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de ff.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean f,g:R→Rf, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} las funciones definidas por f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 y g(x)=12x2+1g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1.
a
Esboza las gráficas de ff y gg, y halla su punto de corte.1 pt
b
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
De la matriz A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} se sabe que det⁡(A)=4\det(A) = 4. Se pide:
a
Halla det⁡(−3At)\det(-3A^t) y det⁡(2b2a−3d−3c)\det \begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c \end{pmatrix}. Indica las propiedades que utilizas (AtA^t es la matriz traspuesta de AA).1,25 pts
b
Calcula det⁡(A−1At)\det(A^{-1} A^t).0,75 pts
c
Si BB es una matriz cuadrada tal que B3=IB^3 = I, siendo II la matriz identidad, halla det⁡(B)\det(B).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean los puntos A(2,λ,λ)A(2, \lambda, \lambda), B(−λ,2,0)B(-\lambda, 2, 0) y C(0,λ,λ−1)C(0, \lambda, \lambda - 1).
a
¿Existe algún valor de λ∈R\lambda \in \mathbb{R} para el que los puntos A,BA, B y CC estén alineados? Justifica la respuesta.1 pt
b
Para λ=1\lambda = 1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A,BA, B y CC. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.1,5 pts
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