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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2015

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considere el siguiente sistema dependiente del parámetro tt{tx+y+tz=tx+ty+z=−ty+tz=0\begin{cases} tx + y + tz = t \\ x + ty + z = -t \\ y + tz = 0 \end{cases}
a
Analice la existencia de soluciones dependiendo del valor del parámetro tt.2 pts
b
Calcule todas las soluciones en el caso de t=2t=2.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considere la función f(x)=(1+x2)(1/x)f(x) = (1 + x^2)^{(1/x)}
a
Calcule lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).2,5 pts
b
Calcule la derivada de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considere el punto P=(1,1,3)P = (1, 1, 3) y el plano Π≡(2,1,0)+t(−1,1,1)+s(1,−1,1)\Pi \equiv (2, 1, 0) + t(-1, 1, 1) + s(1, -1, 1).
a
Calcule la recta rr que pasa por PP y es ortogonal al plano Π\Pi.1 pt
b
Calcule la distancia entre PP y Π\Pi.1,25 pts
c
Calcule la ecuación implícita (general) de Π\Pi.1 pt
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considere la matrizA=(−131−4636−7−4)A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ -4 & 6 & 3 \\ 6 & -7 & -4 \end{pmatrix}
a
Calcule todos los vectores v⃗=(xyz)\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} tales que Av⃗=v⃗A\vec{v} = \vec{v}.1,25 pts
b
Calcule la matriz inversa de AA.2 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Consideremos el rectángulo cuyos vértices son: (0,0),(x0,0),(x0,f(x0)),(0,f(x0))(0, 0), (x_0, 0), (x_0, f(x_0)), (0, f(x_0)), tal y como indica la figura, donde 0≤x0≤10 \leq x_0 \leq 1 y f(x)=18−3x−8x2f(x) = 18 - 3x - 8x^2.
Gráfica de la función f(x) con un rectángulo sombreado de base x0 y altura f(x0).
a
Calcule el valor de x0x_0 para que el área del rectángulo sea máxima. Calcule el área de dicho rectángulo.2,5 pts
b
Calcule el área del recinto encerrado bajo la gráfica de f(x)f(x) entre los valores 0≤x≤10 \leq x \leq 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sean A,BA, B y CC los puntos de coordenadas A=(2,1,2)A = (2, 1, 2), B=(1,0,0)B = (1, 0, 0), C=(2,4,3)C = (2, 4, 3) y sea rr la rectar≡{2y−z=0x+z=2r \equiv \begin{cases} 2y - z = 0 \\ x + z = 2 \end{cases}
a
Calcule las ecuaciones de la recta que pasa por el punto AA y por el punto medio del segmento BCBC.1 pt
b
Calcule el área del triángulo ABCABC.1 pt
c
Calcule la distancia del punto CC a la recta rr.1,25 pts
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