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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2015

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3,25 puntos
Considere el siguiente sistema dependiente del parámetro tt {tx+y+tz=tx+ty+z=−ty+tz=0\begin{cases} tx + y + tz = t \\ x + ty + z = -t \\ y + tz = 0 \end{cases}
a)2 pts
Analice la existencia de soluciones dependiendo del valor del parámetro tt.
b)1,25 pts
Calcule todas las soluciones en el caso de t=2t=2.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,25 puntos
Considere la matriz A=(−131−4636−7−4)A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ -4 & 6 & 3 \\ 6 & -7 & -4 \end{pmatrix}
a)1,25 pts
Calcule todos los vectores v⃗=(xyz)\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} tales que Av⃗=v⃗A\vec{v} = \vec{v}.
b)2 pts
Calcule la matriz inversa de AA.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
Considere la función f(x)=(1+x2)(1/x)f(x) = (1 + x^2)^{(1/x)}
a)2,5 pts
Calcule lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
b)1 pts
Calcule la derivada de f(x)f(x).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
Consideremos el rectángulo cuyos vértices son: (0,0),(x0,0),(x0,f(x0)),(0,f(x0))(0, 0), (x_0, 0), (x_0, f(x_0)), (0, f(x_0)), tal y como indica la figura, donde 0≤x0≤10 \leq x_0 \leq 1 y f(x)=18−3x−8x2f(x) = 18 - 3x - 8x^2.
Gráfica de la función f(x) con un rectángulo sombreado de base x0 y altura f(x0).
Gráfica de la función f(x) con un rectángulo sombreado de base x0 y altura f(x0).
a)2,5 pts
Calcule el valor de x0x_0 para que el área del rectángulo sea máxima. Calcule el área de dicho rectángulo.
b)1 pts
Calcule el área del recinto encerrado bajo la gráfica de f(x)f(x) entre los valores 0≤x≤10 \leq x \leq 1.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3,25 puntos
Considere el punto P=(1,1,3)P = (1, 1, 3) y el plano Π≡(2,1,0)+t(−1,1,1)+s(1,−1,1)\Pi \equiv (2, 1, 0) + t(-1, 1, 1) + s(1, -1, 1).
a)1 pts
Calcule la recta rr que pasa por PP y es ortogonal al plano Π\Pi.
b)1,25 pts
Calcule la distancia entre PP y Π\Pi.
c)1 pts
Calcule la ecuación implícita (general) de Π\Pi.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3,25 puntos
Sean A,BA, B y CC los puntos de coordenadas A=(2,1,2)A = (2, 1, 2), B=(1,0,0)B = (1, 0, 0), C=(2,4,3)C = (2, 4, 3) y sea rr la recta r≡{2y−z=0x+z=2r \equiv \begin{cases} 2y - z = 0 \\ x + z = 2 \end{cases}
a)1 pts
Calcule las ecuaciones de la recta que pasa por el punto AA y por el punto medio del segmento BCBC.
b)1 pts
Calcule el área del triángulo ABCABC.
c)1,25 pts
Calcule la distancia del punto CC a la recta rr.
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