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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2011Variante 2

Matemáticas CCSS · Andalucía 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Dada la matriz A=(156017001)A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, calcule (I3−A)3(I_3 - A)^3.1,25 pts
b
Dadas las matrices B=(1ab3)B = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 3 \end{pmatrix}, C=(−13)C = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}, D=(510)D = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}, determine aa y bb de manera que B⋅C−D=OB \cdot C - D = O, siendo OO la matriz nula.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x)R(x), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, xx, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:R(x)=−0,001x2+0,4x+3,5, con x≥10R(x) = -0{,}001x^2 + 0{,}4x + 3{,}5, \text{ con } x \geq 10
a
Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000100000 euros.0,5 pts
b
Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.1,5 pts
c
¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda.
a
Construya el espacio muestral de este experimento aleatorio.1 pt
b
Determine la probabilidad del suceso AA: “El jugador obtiene un número par en el dado y cruz en la moneda”.1 pt
c
Si sabemos que en la moneda ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que en el dado haya salido más de 3 puntos?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribución Normal de media 6,26{,}2 puntos y desviación típica de 11 punto. Se seleccionó, aleatoriamente, una muestra de tamaño 2525.
a
Indique la distribución de la media de las muestras de tamaño 2525.1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que la media de las calificaciones de los alumnos de una de esas muestras esté comprendida entre 66 y 6,66{,}6 puntos?1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Dibuje el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones y determine sus vértices:y≥200−2x,x−100≤3y,x+2y≤600,x≥0y \geq 200 - 2x, \quad x - 100 \leq 3y, \quad x + 2y \leq 600, \quad x \geq 01,5 pts
b
Sabiendo que A(0,2)A(0, 2), B(1,4)B(1, 4), C(3,4)C(3, 4), D(4,2)D(4, 2) y E(2,1)E(2, 1) son los vértices de una región factible, determine en ella el mínimo y el máximo de la función F(x,y)=10x+5y+21F(x, y) = 10x + 5y + 21, e indique los puntos donde se alcanzan.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)={1−2x2si x≤1x2−2ax+3si 1<x≤3−x2+8x−15si x>3f(x) = \begin{cases} 1 - 2x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ x^2 - 2ax + 3 & \text{si } 1 < x \leq 3 \\ -x^2 + 8x - 15 & \text{si } x > 3 \end{cases}
a
Calcule el valor de aa para que ff sea continua en x=1x = 1.0,75 pts
b
Para a=2a = 2 estudie la continuidad y la derivabilidad de ff.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Una bolsa contiene 55 bolas blancas, 33 rojas y 44 negras. Ana y Manolo practican el siguiente juego: Ana saca una bola, anota su color y la devuelve a la bolsa, a continuación Manolo extrae una bola y anota su color. Si las dos bolas extraídas tienen el mismo color gana Ana, si sólo hay una bola blanca gana Manolo, y en otro caso hay empate.
a
Calcule la probabilidad de que gane Ana.1,25 pts
b
Calcule la probabilidad de que gane Manolo.1 pt
c
Calcule la probabilidad de que haya empate.0,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Un estudio sociológico afirma que el 70%70\% de las familias cena viendo la televisión. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de 500500 familias, en la que se observa que 340340 ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0,010{,}01.
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