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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2017

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Responde solo a una de las dos opciones (OPCIÓN A/ OPCIÓN B). b) No está permitido el uso de calculadoras gráficas o programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte A1
Sea f(x)=2x3−3x2−12x+7f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7.
a
Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función dada.1 pt
b
Determina los extremos relativos de la función.0,5 pts
c
Utilizando la información de los apartados anteriores, haz una representación gráfica aproximada de la función.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte A1
Sea aa un parámetro real. Consideramos el sistema de ecuaciones lineales{ax+y+2az=1x+ay+z=1x+y+z=a\begin{cases} ax + y + 2az = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + z = a \end{cases}
a
¿Para qué valores del parámetro aa el sistema es compatible y determinado?1 pt
b
Calcular la solución para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte A1
Durante la pasada Semana Santa el 40% de los turistas nacionales que visitaron Logroño procedían de Cataluña. El 60% de los turistas catalanes visitó alguna bodega y el 40% de los turistas de otras comunidades también lo hizo.
a
Calcula el porcentaje de turistas nacionales que visitó una bodega.1 pt
b
Se sabe que un determinado turista no visitó una bodega, calcula la probabilidad de que fuese catalán.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Cierta empresa fabrica puertas y ventanas. Las instalaciones de la empresa imponen las siguientes restricciones sobre la producción diaria: 1. El número de puertas realizadas debe ser mayor o igual al número de ventanas, pero nunca puede superar su doble. 2. La empresa puede fabricar, entre puertas y ventanas, un máximo de 900 unidades diarias, y el número de puertas debe ser al menos de 400 unidades.
a
Plantea el conjunto de restricciones y dibuja la región factible asociada con ellas.1 pt
b
Si precio de venta de las puertas es de cien euros la unidad y el de las ventanas es de ciento veinte euros, ¿cómo debe ser la producción de la empresa para maximizar los ingresos diarios?1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Sea la función fa,b(x)=x2(x2−2a)+bf_{a,b}(x) = x^2(x^2 - 2a) + b, donde aa y bb son parámetros reales.
a
Consideramos las curvas y=f3,4(x)y = f_{3,4}(x) e y=f2,2(x)y = f_{2,2}(x). Determinar el área de la región limitada por ambas curvas. Dicha región aparece sombreada en la siguiente figura.1 pt
Gráfica de las funciones f_{3,4}(x) y f_{2,2}(x) mostrando el área sombreada entre ellas.
b
Calcular lim⁡x→4f8,0(x)x−4\lim_{x \to 4} \frac{f_{8,0}(x)}{x - 4}1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Andoni, el cocinero jefe del afamado restaurante El Caracol Vertiginoso, tiene a su disposición diez botellas de aceite indistinguibles en una estantería. Hay dos botellas que contienen aceite elaborado con aceitunas de la variedad arbequina, tres con aceite hecho a partir de la variedad picual y cinco cuyo aceite se ha obtenido mezclando aceitunas de distintas variedades. Esta mañana Andoni ha elaborado tres platos en cuya elaboración era necesaria aceite. Para hacer cada uno de ellos ha tomado una botella de la estantería de manera aleatoria e inmediatamente la ha devuelto.
a
Determinar la probabilidad de que en algún plato haya usado aceite elaborado con aceitunas de la variedad picual.1 pt
b
Determinar la probabilidad de que para elaborar los tres platos haya usado los tres tipos de aceite disponibles.1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Parte B1
Sea f(x)=2x3−3x2−12x−7f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 7.
a
Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función dada.1 pt
b
Determina los extremos relativos de la función.0,5 pts
c
Utilizando la información de los apartados anteriores, haz una representación gráfica aproximada de la función.0,5 pts
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Parte B1
Sea aa un parámetro real. Consideramos el sistema de ecuaciones lineales{ax+y+2az=1x+ay+z=1x+y+z=a\begin{cases} ax + y + 2az = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + z = a \end{cases}
a
¿Para qué valores del parámetro aa el sistema es compatible y determinado?1 pt
b
Calcular la solución para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Parte B1
Durante la pasada Semana Santa el 40% de los turistas nacionales que visitaron Logroño procedían de Cataluña. El 60% de los turistas catalanes visitó alguna bodega y el 40% de los turistas de otras comunidades también lo hizo.
a
Calcula el porcentaje de turistas nacionales que visitó una bodega.1 pt
b
Se sabe que un determinado turista no visitó una bodega, calcula la probabilidad de que fuese catalán.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Consideremos la matrizA=(5−3a2−a2(2−a)1−a)A = \begin{pmatrix} 5 - 3a & 2 - a \\ 2(2 - a) & 1 - a \end{pmatrix}
a
Determinar los valores de aa para los que existe la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
b
Tomando a=−2a = -2, determinar una matriz XX tal que 4⋅X⋅A=At+A24 \cdot X \cdot A = A^t + A^2. (Nota: AtA^t indica la matriz traspuesta de la matriz AA.)1 pt
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Ejercicio 11

11
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Deseamos construir un campo rectangular que debe tener un área de 3200 m23200\,\text{m}^2. Dicho campo está ubicado a lo largo de un río y no es necesario cercar el lado situado a lo largo de la orilla. (Los lados que se deben cercar aparecen en rojo en la figura adjunta.)
Diagrama de un campo rectangular adyacente a un río, indicando los tres lados a cercar.
a
¿Cuáles habrán de ser las dimensiones del campo para que se necesite el mínimo posible de metros de cerca?1,5 pts
b
Determinar el coste de construcción del cercado si cada metro construido perpendicular al río tiene un coste de quinientos euros y cada metro paralelo al río cuesta cuatrocientos euros.0,5 pts
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Ejercicio 12

12
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Se conoce como grado de la uva al vendimiar el contenido en azúcares de la misma. Durante la última vendimia en Rioja Alta se ha detectado que el grado de la uva de los viñedos de la zona sigue una distribución normal con una desviación típica de 1,51{,}5 grados.
a
Si al tomar una muestra de 64 viñedos se ha obtenido una media de 13 grados, determinar un intervalo de confianza al 85% para la media del grado alcohólico.1 pt
b
¿Cuál habrá sido el tamaño y la media de una muestra cuyo intervalo de confianza al 90% para la media del grado alcohólico ha sido (12,225,12,775)(12{,}225, 12{,}775)?1 pt
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