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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2013

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Encuentre, razonadamente, un valor del parámetro aa para el que sea compatible determinado el sistema de ecuaciones{ax+2y+z=a+1(a+1)x−y−az=−1−x+y+z=2a\begin{cases} ax + 2y + z = a + 1 \\ (a + 1)x - y - az = -1 \\ -x + y + z = 2a \end{cases}
a
Encuentre, razonadamente, un valor del parámetro aa para el que sea compatible determinado el sistema de ecuaciones.1,25 pts
b
Resuelva el sistema para el valor de aa encontrado.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean en R3\mathbb{R}^3 los vectores e⃗=(2,0,0)\vec{e} = (2, 0, 0), u⃗=(1,0,−1)\vec{u} = (1, 0, -1) y v⃗=(−2,3,−2)\vec{v} = (-2, 3, -2).
a
Calcule el producto vectorial e⃗×u⃗\vec{e} \times \vec{u}.1 pt
b
Calcule el seno del ángulo θ\theta que forman e⃗\vec{e} y u⃗\vec{u}.0,75 pts
c
Calcule el ángulo ϕ\phi que forman u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Estudie si la recta rr de ecuación y=4x−2y = 4x - 2 es tangente a la gráfica de la función f(x)=x3+x2−x+1f(x) = x^3 + x^2 - x + 1 en alguno de sus puntos.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Halle, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva de la función f(x)=1+ln⁡xf(x) = 1 + \ln x.1 pt
b
Calcule el área de la región plana limitada por la curva y=ln⁡xy = \ln x, la recta horizontal y=−1y = -1, y las rectas verticales x=1x = 1 y x=ex = e.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matricesA=(10−1−1−11011),I=(100010001),A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},pruebe que la matriz inversa de AA es A−1=−A2+A+2IA^{-1} = -A^2 + A + 2I.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcule las ecuaciones implícitas de la recta rr que pasa por el punto P=(1,−1,0)P = (1, -1, 0) y es paralela a los planos Π1≡x+y=2\Pi_1 \equiv x + y = 2 y Π2≡x−y+z=1\Pi_2 \equiv x - y + z = 1.1,5 pts
b
Calcule también las ecuaciones paramétricas de rr y un vector director de rr.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enuncie el teorema de Bolzano.1 pt
b
Demuestre que alguna de las raíces del polinomio P(x)=x4−8x−1P(x) = x^4 - 8x - 1 es negativa.0,75 pts
c
Demuestre que P(x)P(x) tiene también alguna raíz positiva.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule la siguiente integral de una función racional:∫3xx2+x−2dx\int \frac{3x}{x^2 + x - 2} dx
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