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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2013

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Encuentre, razonadamente, un valor del parámetro aa para el que sea compatible determinado el sistema de ecuaciones {ax+2y+z=a+1(a+1)x−y−az=−1−x+y+z=2a\begin{cases} ax + 2y + z = a + 1 \\ (a + 1)x - y - az = -1 \\ -x + y + z = 2a \end{cases}
a)1,25 pts
Encuentre, razonadamente, un valor del parámetro aa para el que sea compatible determinado el sistema de ecuaciones.
b)1,25 pts
Resuelva el sistema para el valor de aa encontrado.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(10−1−1−11011),I=(100010001),A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, pruebe que la matriz inversa de AA es A−1=−A2+A+2IA^{-1} = -A^2 + A + 2I.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sean en R3\mathbb{R}^3 los vectores e⃗=(2,0,0)\vec{e} = (2, 0, 0), u⃗=(1,0,−1)\vec{u} = (1, 0, -1) y v⃗=(−2,3,−2)\vec{v} = (-2, 3, -2).
a)1 pts
Calcule el producto vectorial e⃗×u⃗\vec{e} \times \vec{u}.
b)0,75 pts
Calcule el seno del ángulo θ\theta que forman e⃗\vec{e} y u⃗\vec{u}.
c)0,75 pts
Calcule el ángulo ϕ\phi que forman u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Calcule las ecuaciones implícitas de la recta rr que pasa por el punto P=(1,−1,0)P = (1, -1, 0) y es paralela a los planos Π1≡x+y=2\Pi_1 \equiv x + y = 2 y Π2≡x−y+z=1\Pi_2 \equiv x - y + z = 1.
b)1 pts
Calcule también las ecuaciones paramétricas de rr y un vector director de rr.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Estudie si la recta rr de ecuación y=4x−2y = 4x - 2 es tangente a la gráfica de la función f(x)=x3+x2−x+1f(x) = x^3 + x^2 - x + 1 en alguno de sus puntos.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Enuncie el teorema de Bolzano.
b)0,75 pts
Demuestre que alguna de las raíces del polinomio P(x)=x4−8x−1P(x) = x^4 - 8x - 1 es negativa.
c)0,75 pts
Demuestre que P(x)P(x) tiene también alguna raíz positiva.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1 pts
Halle, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva de la función f(x)=1+ln⁡xf(x) = 1 + \ln x.
b)1,5 pts
Calcule el área de la región plana limitada por la curva y=ln⁡xy = \ln x, la recta horizontal y=−1y = -1, y las rectas verticales x=1x = 1 y x=ex = e.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Calcule la siguiente integral de una función racional: ∫3xx2+x−2dx\int \frac{3x}{x^2 + x - 2} dx
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