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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considere las matrices siguientes:A=(102k01),B=(k0−1112),\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix} k & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix},donde kk es un parámetro real.
a
Calcule A⋅BA \cdot B, y determine en función de los valores reales de kk si la matriz A⋅BA \cdot B tiene inversa.4 pts
b
Estudie lo mismo que en el apartado a) pero ahora con la matriz B⋅AB \cdot A.4 pts
c
Para k=−2k = -2 calcule la matriz inversa de B⋅AB \cdot A.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Los beneficios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción (en miles de euros) vienen dados por:B(x)={5x+15,si 0≤x≤3,−(x−3)2+30,si 3<x≤8.B(x) = \begin{cases} 5x + 15, & \text{si } 0 \leq x \leq 3, \\ -(x - 3)^2 + 30, & \text{si } 3 < x \leq 8. \end{cases}
a
¿Es continua la función B(x)B(x)?3 pts
b
¿Es derivable? Dé el conjunto donde es derivable la función.2 pts
c
Haga un dibujo de la función en su dominio.3 pts
d
Determine el beneficio máximo y el beneficio mínimo.1 pt
e
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios.1 pt
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Un dado está cargado de manera que la probabilidad de obtener un 6 es de 12\frac{1}{2} y las probabilidades de obtener cada una de las otras caras son iguales a pp. Se lanza este dado, calcule la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes:
a
Se obtiene un dos.4 pts
b
No se obtiene un tres.2 pts
c
Se obtiene un número par.2 pts
d
Se obtiene un número impar.2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
En una fábrica de pilas se sabe que la desviación típica de la duración de un determinado tipo de pila es de 80 horas.
a
Si α=0,2\alpha = 0{,}2 (nivel de significación), y en una muestra de 50 de estas pilas la duración media es de 500 horas, determine el intervalo de confianza para la duración media poblacional.5 pts
b
Si la duración de este tipo de pila siguiese una normal de media 500 horas y desviación típica 80 horas, ¿cuál sería la probabilidad de que la duración media de 9 pilas fuese mayor que 520 horas?5 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
El precio de la estancia diaria en un hotel es de 5050 € por persona. Los niños pagan el 50%50\% de este precio, y los jubilados pagan el 60%60\% de este precio. Determine el número de personas que no son ni niños ni jubilados, el número de niños y el de jubilados que había un día en el hotel si se sabe que: había 200 personas, el número de jubilados era igual al 25%25\% del número de niños y recaudaron un total de 5.6805.680 € por la estancia de todos.
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Considere la función f(x,y)=x−yf(x, y) = x - y.
a
Represente el conjunto de puntos del plano definido por:A={(x,y):3x+y≥15,y−x≤−5,2x+3y≤60,y≥0}A = \{(x, y): 3x + y \geq 15, y - x \leq -5, 2x + 3y \leq 60, y \geq 0 \}y calcule el valor máximo de f(x,y)f(x, y) en AA. ¿Se podría eliminar alguna de las desigualdades que definen el conjunto AA de manera que todavía fuese el mismo conjunto?5 pts
b
Diga si la función f(x,y)f(x, y) alcanza el valor máximo en el conjunto:B={(x,y):3x+y≤15,x−y≥5,x≥0}B = \{(x, y): 3x + y \leq 15, x - y \geq 5, x \geq 0 \}5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considere la funciónh(x)=x2ex3.h(x) = x^2 e^{x^3}.
a
Calcule una primitiva de esta función.4 pts
b
Calcule la siguiente integral definida:∫ln⁡23ln⁡33x2ex3dx,\int_{\sqrt[3]{\ln 2}}^{\sqrt[3]{\ln 3}} x^2 e^{x^3} dx,y compruebe que su valor es 13\frac{1}{3}.6 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
En una universidad en la que no hay más que estudiantes de ingeniería, de ciencias y de letras, acaban la carrera el 5%5\% de ingeniería, el 10%10\% de ciencias y el 20%20\% de letras. Se sabe que el 20%20\% estudian ingeniería, el 30%30\%, ciencias y el 50%50\%, letras. Tomado un estudiante al azar, se pide:
a
Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de ingeniería.6 pts
b
Nos dice que ha acabado la carrera, probabilidad de que sea de ingeniería.4 pts
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