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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2018

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Considere las matrices siguientes: A=(102k01),B=(k0−1112),\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix} k & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, donde kk es un parámetro real.
a)4 pts
Calcule A⋅BA \cdot B, y determine en función de los valores reales de kk si la matriz A⋅BA \cdot B tiene inversa.
b)4 pts
Estudie lo mismo que en el apartado a) pero ahora con la matriz B⋅AB \cdot A.
c)2 pts
Para k=−2k = -2 calcule la matriz inversa de B⋅AB \cdot A.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
El precio de la estancia diaria en un hotel es de 5050 € por persona. Los niños pagan el 50%50\% de este precio, y los jubilados pagan el 60%60\% de este precio. Determine el número de personas que no son ni niños ni jubilados, el número de niños y el de jubilados que había un día en el hotel si se sabe que: había 200 personas, el número de jubilados era igual al 25%25\% del número de niños y recaudaron un total de 5.6805.680 € por la estancia de todos.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Los beneficios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción (en miles de euros) vienen dados por: B(x)={5x+15,si 0≤x≤3,−(x−3)2+30,si 3<x≤8.B(x) = \begin{cases} 5x + 15, & \text{si } 0 \leq x \leq 3, \\ -(x - 3)^2 + 30, & \text{si } 3 < x \leq 8. \end{cases}
a)3 pts
¿Es continua la función B(x)B(x)?
b)2 pts
¿Es derivable? Dé el conjunto donde es derivable la función.
c)3 pts
Haga un dibujo de la función en su dominio.
d)1 pts
Determine el beneficio máximo y el beneficio mínimo.
e)1 pts
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Considere la función f(x,y)=x−yf(x, y) = x - y.
a)5 pts
Represente el conjunto de puntos del plano definido por: A={(x,y):3x+y≥15,y−x≤−5,2x+3y≤60,y≥0}A = \{(x, y): 3x + y \geq 15, y - x \leq -5, 2x + 3y \leq 60, y \geq 0 \} y calcule el valor máximo de f(x,y)f(x, y) en AA. ¿Se podría eliminar alguna de las desigualdades que definen el conjunto AA de manera que todavía fuese el mismo conjunto?
b)5 pts
Diga si la función f(x,y)f(x, y) alcanza el valor máximo en el conjunto: B={(x,y):3x+y≤15,x−y≥5,x≥0}B = \{(x, y): 3x + y \leq 15, x - y \geq 5, x \geq 0 \}
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Un dado está cargado de manera que la probabilidad de obtener un 6 es de 12\frac{1}{2} y las probabilidades de obtener cada una de las otras caras son iguales a pp. Se lanza este dado, calcule la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes:
a)4 pts
Se obtiene un dos.
b)2 pts
No se obtiene un tres.
c)2 pts
Se obtiene un número par.
d)2 pts
Se obtiene un número impar.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Considere la función h(x)=x2ex3.h(x) = x^2 e^{x^3}.
a)4 pts
Calcule una primitiva de esta función.
b)6 pts
Calcule la siguiente integral definida: ∫ln⁡23ln⁡33x2ex3dx,\int_{\sqrt[3]{\ln 2}}^{\sqrt[3]{\ln 3}} x^2 e^{x^3} dx, y compruebe que su valor es 13\frac{1}{3}.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
10 puntos
En una fábrica de pilas se sabe que la desviación típica de la duración de un determinado tipo de pila es de 80 horas.
a)5 pts
Si α=0,2\alpha = 0{,}2 (nivel de significación), y en una muestra de 50 de estas pilas la duración media es de 500 horas, determine el intervalo de confianza para la duración media poblacional.
b)5 pts
Si la duración de este tipo de pila siguiese una normal de media 500 horas y desviación típica 80 horas, ¿cuál sería la probabilidad de que la duración media de 9 pilas fuese mayor que 520 horas?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
10 puntos
En una universidad en la que no hay más que estudiantes de ingeniería, de ciencias y de letras, acaban la carrera el 5%5\% de ingeniería, el 10%10\% de ciencias y el 20%20\% de letras. Se sabe que el 20%20\% estudian ingeniería, el 30%30\%, ciencias y el 50%50\%, letras. Tomado un estudiante al azar, se pide:
a)6 pts
Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de ingeniería.
b)4 pts
Nos dice que ha acabado la carrera, probabilidad de que sea de ingeniería.
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