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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2024

6 ejercicios

Instrucciones

Responda a CUATRO de los seis siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, debe indicarlo claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la función f(x)=2ln⁡xxf(x) = 2 \frac{\ln x}{x}, definida para x>0x > 0.
a
Estudie los máximos y los mínimos, y las zonas de crecimiento y de decrecimiento.1 pt
b
¿Esta función tiene asíntotas? Haga un esbozo de su gráfica.1 pt
c
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y=f(x)y = f(x) en el punto de abscisa x=1x = 1.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones siguiente:{4x+2y−z=4x−y+kz=33x+3y=1\begin{cases} 4x + 2y - z = 4 \\ x - y + kz = 3 \\ 3x + 3y = 1 \end{cases}donde kk es un parámetro real.
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro kk, y resuélvalo para k=0k = 0.1 pt
b
Resuelva el sistema para k=−1k = -1.0,75 pts
c
Para k=−1k = -1, modifique la tercera ecuación de manera que el sistema se convierta en incompatible. Justifique la respuesta.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Juan encuentra entre los papeles de su abuelo un esbozo como el de la figura adjunta, donde se describe un terreno de regadío que ha dejado en herencia a su padre. La curva de la gráfica es y=f(x)y = f(x), con f(x)=−x3+7x2−6x+5f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5.
Esbozo del terreno de regadío con la curva $y = f(x)$, los puntos $P$, $Q$, $R$ y la recta $PR$.
a
A partir de la expresión de f(x)f(x), calcule las coordenadas de los puntos PP, QQ y RR indicados en la figura. Calcule también la ecuación de la recta PRPR.1,25 pts
b
Calcule la superficie del terreno.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Andrés pone las nueve bolas que se muestran a continuación dentro de una bolsa.
Nueve bolas con letras: dos A, una E, tres S, una T, una R, una N.
a
A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una detrás de otra y sin reemplazamiento (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda). — Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E. — Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes.1,25 pts
b
Andrés vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de otra, pero ahora con reemplazamiento (es decir, ahora sí devuelve a la bolsa cada bola extraída antes de coger la siguiente). — Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna A. — Calcule la probabilidad de que haya sacado al menos dos A.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Queremos construir un pequeño cobertizo de madera de 6 m36\,\text{m}^3 de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, queremos que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de 30 €30\,\text{€} y el techo cuesta 50 €50\,\text{€} por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadirle una puerta tiene un coste fijo de 35 €35\,\text{€}.
Esquema del cobertizo adosado a la pared de la casa, con dimensiones $x$ (profundidad), $y$ (anchura) y $z$ (altura).
a
Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función C(x)=300x+150x2+35C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35.1,25 pts
b
Calcule cuáles deben ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste?1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere los puntos A=(1,2,3)A = (1, 2, 3) y B=(−3,−2,3)B = (-3, -2, 3).
a
Calcule la ecuación del plano π\pi que es perpendicular a la recta ABAB y que pasa por el punto medio entre AA y BB. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos P=(x,y,z)P = (x, y, z) que están a igual distancia de AA que de BB, es decir, d(P,A)=d(P,B)d(P, A) = d(P, B).1 pt
b
Calcule las distancias de AA y de BB al plano π\pi y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta.0,75 pts
c
Sea C=(−7,6,3)C = (-7, 6, 3). ¿El triángulo ABCABC es isósceles? Calcule su área.0,75 pts
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