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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2014Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2014

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean las matrices A=(21−101−2)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} y B=(3102−10)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcúlese (AtB)−1(A^t B)^{-1}, donde AtA^t denota a la traspuesta de la matriz AA.1 pt
b
Resuélvase la ecuación matricial A⋅(xy)=(0−1)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se consideran la función f(x,y)=5x−2yf(x, y) = 5x - 2y y la región del plano SS definida por el siguiente conjunto de restricciones:x−2y≤0,x+y≤6,x≥0,y≤3.x - 2y \leq 0, \quad x + y \leq 6, \quad x \geq 0, \quad y \leq 3.
a
Represéntese la región SS.1 pt
b
Calcúlense las coordenadas de los vértices de la región SS y obténganse los valores máximo y mínimo de la función ff en SS indicando los puntos donde se alcanzan.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)={x+asi x<1x2−2si 1≤x≤3x+bsi x>3f(x) = \begin{cases} x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 2 & \text{si } 1 \leq x \leq 3 \\ x + b & \text{si } x > 3 \end{cases}
a
Determínense aa y bb para que ff sea continua en todo R\mathbb{R}.1 pt
b
Calcúlese ∫13f(x)dx\int_{1}^{3} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos de un espacio muestral tales que: P(A)=0,4P(A) = 0{,}4; P(A∪B)=0,5P(A \cup B) = 0{,}5; P(B∣A)=0,5P(B | A) = 0{,}5.
Datos
  • S‾\overline{S} denota al suceso complementario del suceso SS
a
Calcúlese P(B)P(B).1 pt
b
Calcúlese P(A∣B‾)P(A | \overline{B}).1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La longitud, en milímetros (mm), de los individuos de una determinada colonia de gusanos de seda se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida μ\mu y desviación típica igual a 33 mm.
a
Se toma una muestra aleatoria simple de 4848 gusanos de seda y se obtiene una media muestral igual a 3636 mm. Determínese un intervalo de confianza para la media poblacional de la longitud de los gusanos de seda con un nivel de confianza del 95%95\%.1 pt
b
Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el error máximo cometido en la estimación de μ\mu por la media muestral sea menor o igual que 11 mm con un nivel de confianza del 90%90\%.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real aa:x+y+az=23x+4y+2z=a2x+3y−z=1}\left. \begin{array}{r c l} x + y + az & = & 2 \\ 3x + 4y + 2z & = & a \\ 2x + 3y - z & = & 1 \end{array} \right\}
a
Discútase el sistema según los diferentes valores de aa.1 pt
b
Resuélvase el sistema en el caso a=−1a = -1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la función real de variable real f(x)=4x3−3x2−2xf(x) = 4x^3 - 3x^2 - 2x.
a
Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
b
Calcúlese ∫23f(x)dx\int_{2}^{3} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)=x2x−2f(x) = \frac{x^2}{x - 2}
a
Determínense sus asíntotas.1 pt
b
Determínense el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas AA y BB. La urna AA contiene 33 bolas rojas y 22 negras; la urna BB contiene 22 rojas y 33 negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es 11 ó 22 extraemos una bola de la urna AA; en caso contrario extraemos una bola de la urna BB.
a
¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?1 pt
b
Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna AA?1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El consumo mensual de leche (en litros) de los alumnos de un determinado colegio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ=3\sigma = 3 litros.
a
Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza (16,33;19,27)(16{,}33 ; 19{,}27) para estimar μ\mu, con un nivel de confianza del 95%95\%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.1 pt
b
Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 6464. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de μ\mu mediante la media muestral con un nivel de confianza del 95%95\%.1 pt
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