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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2026

5 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a cuatro de las cinco preguntas. En cada una de las elegidas, contesta una única opción, A o B.
Puntuación
Cada pregunta se califica con un máximo de 2,5 puntos. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Además
Si las preguntas seleccionadas o respondidas suman más de 10 puntos o no coinciden con las agrupaciones indicadas, se anulan las últimas.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos

De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Un cliente de una cafetería compra 1 café, 2 tés y 2 zumos y paga 11 euros. Al día siguiente compra 1 café, 3 tés y 3 zumos y paga 16 euros. El tercer día compra 3 cafés, 3 tés y los zumos que pueda pagar con 21 euros exactos (no deben darle vuelta). Se pide:
a
Encuentra un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema de calcular el precio de cada producto en función del número pp de zumos que le den el tercer día. Discute el sistema obtenido en función del número de zumos pagados el último día.1,5 pts
b
El camarero del tercer día le dice “Por ese dinero te daré dos zumos”, el cliente dice “Eso es imposible, el precio está mal calculado” ¿quién tiene razón? Justifica la respuesta.0,5 pts
c
El camarero le responde, en efecto, tiene usted razón, en realidad le tengo que dar 4 zumos y el cliente queda satisfecho. ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida?0,5 pts
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De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Para cada a∈Ra \in \mathbb{R} se considera la matriz A=(−12−203−4a2−3)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & -4 \\ a & 2 & -3 \end{pmatrix}. Se pide:
a
Calcular todos los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} que hacen que A2=IA^2 = I, donde II es la matriz identidad de orden 3.1 pt
b
Si una matriz BB de tamaño 3×33 \times 3 verifica que B2=2 IB^2 = 2\,I ¿Qué valores puede tomar det⁡(B)\det(B)?0,5 pts
c
Calcula el rango y el determinante de la matriz AA para cada valor de a∈Ra \in \mathbb{R}.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos

De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Una empresa inicia su cotización en bolsa, con un precio de 5 euros la acción. A partir de ahí, el precio de cada acción se modelizó en función del tiempo pasado en bolsa desde ese momento inicial y durante el primer mes. Se obtuvo la siguiente función f(t)=5t2+2t+5t2+1f(t) = \frac{5t^2 + 2t + 5}{t^2 + 1}, t∈[0,30]t \in [0, 30].
a
Si la empresa necesita que el valor de cada acción llegue a 6,56{,}5 euros para que se alcancen los objetivos previstos ¿se alcanzan en el intervalo estudiado?1 pt
b
Estudia los intervalos en los que el precio de cada acción sube y los intervalos donde baja.0,75 pts
c
¿Cuál sería el valor de la acción si esta función modelizase el valor de las acciones a lo largo de toda la vida de la empresa?0,75 pts
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De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Se considera la función: f(x)={x2−Ax+11si x<25x−1si x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 - Ax + 11 & \text{si } x < 2 \\ \sqrt{5x - 1} & \text{si } x \geq 2 \end{cases} Se pide
a
Calcular el valor de AA para el que ff es una función continua.0,75 pts
b
Si A=6A = 6, estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.1,25 pts
c
Para A=6A = 6 ¿es x=2x = 2 un extremo relativo de la función? ¿de qué tipo?.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos

De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Se sabe que la función F(x)=12sen⁡(π2x2)F(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x^2\right) es una primitiva de ff. Se pide:
a
Calcular la función ff1 pt
b
Calcula una función que sea una primitiva de ff y tal que en x=0x = 0 tome el valor 6.0,75 pts
c
Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de ff, el eje xx y las rectas x=0x = 0 y x=1x = 1.0,75 pts
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De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Dada la función f(x)=x−2x2+1f(x) = \frac{x - 2}{x^2 + 1}, se pide:
a
Calcular una primitiva de la función ff.1,25 pts
b
Calcular el área del recinto acotado encerrado por la gráfica de ff el eje XX y las rectas x=0x = 0 y x=1x = 1.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Se considera el plano π≡x+2y+3z=6\pi \equiv x + 2y + 3z = 6 y el punto P(0,−1,−2)P(0, -1, -2). Se pide:
a
Encontrar la ecuación de una recta paralela a π\pi y que contenga al punto PP. ¿Es única esa recta?1,25 pts
b
Calcular el punto Q∈πQ \in \pi que menos dista de PP. ¿Qué distancia hay entre PP y QQ?1,25 pts
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De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Un móvil se desplaza en línea recta desde el punto P(2,1,3)P(2, 1, 3) hacia el punto Q(0,−1,1)Q(0, -1, 1). Cuando llega a la mitad de la distancia de PP a QQ da un giro y se desplaza por la recta que pasa por H(1,1,1)H(1, 1, 1).
a
Calcula las coordenadas del punto en el que se realiza el giro.0,5 pts
b
Calcula la recta por la que se desplaza el móvil tras realizar el giro.0,75 pts
c
Calcula el ángulo de giro del movil.0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos

De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

En una industria textil se fabrican pantalones vaqueros. Se observan que se pueden producir dos tipos de defectos en la producción, en la longitud y en las costuras. Se hace un estudio y se detecta que el 10 %10\,\% de los pantalones suspenden el test de longitud, mientras que no pasan el test de las costuras el 5 %5\,\%. Además, un 0,8 %0{,}8\,\% de las prendas suspenden ambos test. Se pide:
a
Calcular la probabilidad de que una prenda seleccionada al azar suspenda al menos uno de los test.1,25 pts
b
Si una prenda seleccionada al azar ha suspendido el test de longitud ¿qué probabilidad hay de que también suspenda el test de costuras?1,25 pts
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De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B.

Una grúa debe levantar una serie de cajas. Cuando el brazo de la grúa intenta levantar más de 40 kgs40\,\text{kgs} el sistema de seguridad se activa y la grúa no puede continuar. Supongamos que el peso de las cajas sigue una distribución N(38,1,2)N(38, 1{,}2). Algunos valores de la función de distribución N(0,1)N(0, 1) son: F(x)=P(Z≤x)F(x) = P(Z \leq x) F(0)=0,5F(0) = 0{,}5 F(1,6667)=0,9520F(1{,}6667) = 0{,}9520 F(0,9520)=0,83F(0{,}9520) = 0{,}83 F(0,83)=0,7975F(0{,}83) = 0{,}7975 F(0,79)=0,7852F(0{,}79) = 0{,}7852 Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.
a
¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de seguridad se active al intentar levantar una caja?1,25 pts
b
Se realiza el levantamiento de 10 cajas, una detrás de otra ¿cuál es la probabilidad de que el sistema salte al menos una vez?1,25 pts
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