Matemáticas CCSS · Extremadura 2023

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 1 & 3 & 3 \\ -3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Hallar la matriz $X$ que sea solución de la ecuación matricial $X \cdot A - A^t = B$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$. Justificar la respuesta.

Sean las matrices siguientes: $A = \begin{pmatrix} -1 & x \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Se pide, justificando las respuestas:

Un charcutero vende lomos a $26$ € el kilogramo, salchichones a $15$ € el kilogramo y chorizos a $9$ € el kilogramo. Durante un día vendió $60$ kg de embutidos, cobrando por ellos $737$ €. Sabiendo que el peso de los chorizos es el doble de lo que pesan conjuntamente los lomos y los salchichones, calcular, razonando la respuesta, cuántos kilogramos de cada tipo de embutido vendió ese día.

Una empresa fabrica móviles y tabletas que después vende a $720$ euros y $540$ euros la unidad, respectivamente. Por cuestiones logísticas, no puede fabricar semanalmente más de $800$ móviles ni más de $600$ tabletas, ni más de $1000$ entre los dos productos. Suponiendo que vende todo el material que fabrica, calcular, justificando las respuestas, el número de móviles y de tabletas que debe fabricar semanalmente para obtener unos ingresos máximos y el valor de dichos ingresos máximos.

Una fábrica de materiales de construcción ha descubierto que la producción diaria de ladrillos no defectuosos (en toneladas), $P(x)$, depende de la dureza del material que utiliza, $x$, (en una escala del $0$ al $10$) de acuerdo con la función: $$P(x) = -x^3 + 3Ax^2 - 3Bx + 23 \quad 0 \leq x \leq 10$$ Determinar, justificando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la producción mínima de ladrillos no defectuosos es de $13$ toneladas y se alcanza cuando la dureza del material es de $1$.

Una empresa constructora, tiene que afrontar gastos de suelo y gastos de edificación, (en miles de euros), que dependen de la distancia al centro, $x$, (en km). Dichos gastos vienen dados, respectivamente, por las funciones: $$S(x) = 10x + 100, \quad 0 \leq x \leq 25, \quad \text{y} \quad E(x) = -x^2 + 10x + 200, \quad 0 \leq x \leq 25.$$ Determinar, justificando las respuestas:

Determinar el área delimitada por la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$ y el eje $OX$ entre los valores $x = 0$ y $x = 5$, representando dicha función y el área que se pide. Razonar las respuestas.

Un concesionario trabaja con tres marcas de coches: la marca A representa el $60\%$ de sus ventas, la B el $30\%$ y la C el resto. En un estudio acerca de las preferencias de los clientes sobre el cambio de marchas (manual, automático) se obtiene que el $70\%$ de los coches vendidos de la marca A, el $40\%$ de los de la marca B y el $80\%$ de los de la marca C tienen el cambio manual. Se pide, razonando la respuesta:

Se realiza un estudio sobre el contenido de cierta sustancia en una marca de refrescos. De $500$ latas analizadas, $120$ contenían dicha sustancia. Calcular un intervalo de confianza, al nivel de confianza del $95\%$, para la proporción de latas de esta marca que contenían la sustancia. Razonar la respuesta.

Se pretende realizar un estudio sobre el contenido en alcohol de las cervezas, variable que sigue una distribución normal con desviación típica $1{,}5$ grados. ¿Qué cantidad de cervezas habrá que analizar como mínimo si queremos obtener un intervalo de confianza para el contenido medio de alcohol, con un nivel de confianza del $99\%$ y una longitud no superior a $1$ grado? Razonar la respuesta.