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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2019

2 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
6 puntos
Responde a cada una de las tres preguntas que se plantean a continuación.
a
Si A=(1a+12a111−1a)A = \begin{pmatrix} 1 & a + 1 & 2 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & a \end{pmatrix}2 pts
a.1
Calcula el determinante de AA.0,5 pts
a.2
¿Para qué valores de aa tiene inversa la matriz AA?0,5 pts
a.3
La matriz AA es la matriz de un sistema homogéneo (los términos independientes son todos 00) de tres ecuaciones con tres incógnitas (x,y,z)(x, y, z). Resuélvelo en el caso en el que a=0a = 0.1 pt
b
Sea la funciónf(x)={10≤x<1x2+a1≤x<2b(−x+4)2≤x≤4f(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x < 1 \\ x^2 + a & 1 \leq x < 2 \\ b(-x + 4) & 2 \leq x \leq 4 \end{cases}2 pts
b.1
¿Para qué valores de aa y bb es continua la función?0,5 pts
b.2
Utilizando los valores a=0a = 0 y b=2b = 2, esboza una representación gráfica de la función f(x)f(x).1 pt
b.3
Con los valores aa y bb del apartado (II), calcula el área limitada por el eje OXOX y la gráfica de la función.0,5 pts
c
El 65%65\% de los empleados de una empresa manejan un nuevo programa informático, de ellos, un 40%40\% además hablan inglés. Por otra parte, la cuarta parte de los que no manejan el nuevo programa también hablan inglés. Se elige un empleado al azar.2 pts
c.1
Calcula la probabilidad de que hable inglés y maneje el nuevo programa.0,5 pts
c.2
Calcula la probabilidad de que hable inglés.0,5 pts
c.3
Si el empleado habla inglés, calcula la probabilidad de que maneje el nuevo programa.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
4 puntos

Responda a dos de las tres preguntas.

Responde a dos de las tres preguntas que se plantean a continuación.
a
Alba, Blanca y Naia deben repartirse una herencia. Alba debe recibir la media de lo que reciban Blanca y Naia más 3.0003.000 euros; Blanca debe recibir la media de lo que reciban Alba y Naia, y Naia debe recibir la media de lo que reciban Alba y Blanca menos 3.0003.000 euros.2 pts
a.1
¿Cuánto dinero debe recibir Alba más que Blanca?1 pt
a.2
Si la herencia fuese de 99.00099.000 euros, ¿Cuánto dinero debe recibir cada una?1 pt
b
El efecto (ee) de un medicamento viene dado por la parte positiva de la función e(t)=100t(12−t)e(t) = 100t(12 - t), en la que tt es el tiempo, expresado en meses, transcurrido desde que se toma el medicamento.2 pts
b.1
¿Cuándo es máximo el efecto que produce el medicamento?1 pt
b.2
¿En qué periodos aumenta y disminuye el efecto?1 pt
c
Una cadena de supermercados compra naranjas en contenedores cada uno de los cuales contiene 400400 bolsas cuyo peso medio es 6 kg6\,\text{kg} con una desviación típica de 550 gr550\,\text{gr}.2 pts
c.1
Se toma al azar un contenedor, ¿cuál es la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de ese contenedor sea menor que 5 kg5\,\text{kg} y 950 gr950\,\text{gr}?1 pt
c.2
Pedro no conoce el peso medio de las bolsas pero sabe que la desviación típica es 550 gr550\,\text{gr}. Ha pesado todas las bolsas de un contenedor (400400) y ha obtenido un peso medio de 6 kg6\,\text{kg} y 30 gr30\,\text{gr}. Con esos datos ha calculado para el peso medio de las bolsas un intervalo de confianza del 90 %90\,\% ¿Cuál es el intervalo calculado por Pedro?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
6 puntos
Responde a cada una de las tres preguntas que se plantean a continuación.
a
Si A=(1a+12a111−1a)A = \begin{pmatrix} 1 & a + 1 & 2 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & a \end{pmatrix}2 pts
a.1
Calcula el determinante de AA.0,5 pts
a.2
¿Para qué valores de aa tiene inversa la matriz AA?0,5 pts
a.3
La matriz AA es la matriz de un sistema homogéneo (los términos independientes son todos 00) de tres ecuaciones con tres incógnitas (x,y,z)(x, y, z). Resuélvelo en el caso en el que a=0a = 0.1 pt
b
Sea la funciónf(x)={10≤x<1x2+a1≤x<2b(−x+4)2≤x≤4f(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x < 1 \\ x^2 + a & 1 \leq x < 2 \\ b(-x + 4) & 2 \leq x \leq 4 \end{cases}2 pts
b.1
¿Para qué valores de aa y bb es continua la función?0,5 pts
b.2
Utilizando los valores a=0a = 0 y b=2b = 2, esboza una representación gráfica de la función f(x)f(x).1 pt
b.3
Con los valores aa y bb del apartado (II), calcula el área limitada por el eje OXOX y la gráfica de la función.0,5 pts
c
El 65%65\% de los empleados de una empresa manejan un nuevo programa informático, de ellos, un 40%40\% además hablan inglés. Por otra parte, la cuarta parte de los que no manejan el nuevo programa también hablan inglés. Se elige un empleado al azar.2 pts
c.1
Calcula la probabilidad de que hable inglés y maneje el nuevo programa.0,5 pts
c.2
Calcula la probabilidad de que hable inglés.0,5 pts
c.3
Si el empleado habla inglés, calcula la probabilidad de que maneje el nuevo programa.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
4 puntos

Responda a dos de las tres preguntas.

Responde a dos de las tres preguntas que se plantean a continuación.
a
Las restricciones de una problema de programación lineal son las siguientes:x−y≥0;y+2x≤9;2y+x≥3;x≥0,y≥0.x - y \geq 0; \quad y + 2x \leq 9; \quad 2y + x \geq 3; \quad x \geq 0, \quad y \geq 0.2 pts
a.1
Dibuja en el plano la región factible que represente estas restricciones.1 pt
a.2
Los ingresos de una empresa vienen dados por la función f(x,y)=2y−2x+7f(x, y) = 2y - 2x + 7 sujeta a las restricciones anteriores. ¿Para qué valores de xx e yy obtiene la empresa los máximos ingresos?1 pt
b
Se considera la funciónf(x)=a(x+1)(x−1)2f(x) = \frac{a(x + 1)}{(x - 1)^2}2 pts
b.1
Determina el valor de aa para que la tangente en x=0x = 0 sea paralela a la recta y=x+3y = x + 3.1 pt
b.2
Para a=1a = 1, determina las asíntotas de la función y esboza una representación gráfica para ella.1 pt
c
Un balón de baloncesto debe pesar entre 567567 y 650 gr650\,\text{gr}. Se han fabricado los balones con los que se jugará en China a finales de verano la Copa del Mundo. El peso de los balones fabricados sigue una distribución normal de desviación típica 25 gr25\,\text{gr}. Se distribuyen en cajones de 100100 unidades.2 pts
c.1
Si el peso medio de los balones fuese 605 gr605\,\text{gr}, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de los balones de un cajón superase los 603 gr603\,\text{gr}?1 pt
c.2
El peso medio de una muestra de 44 cajones (400400 balones) es de 610 gr610\,\text{gr}, determina un intervalo de confianza del 95 %95\,\% para la media de la producción.1 pt
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