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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2011

4 ejercicios

Instrucciones

(El alumno/a debe responder solo los ejercicios de una de las opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Sean C1,C2,C3C_1, C_2, C_3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada MM de orden 3 con det⁡(M)=4\det(M) = 4. Calcula, enunciando las propiedades de determinantes que utilices, el determinante de la matriz cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, −C2,2C1−C3,C2+C3-C_2, 2C_1 - C_3, C_2 + C_3.
b
Dada la matriz A=(a1b0)A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & 0 \end{pmatrix}, calcula todos los valores de aa y bb para los que A−1=AtA^{-1} = A^t, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
¿Son coplanarios los puntos A(1,0,2),B(0,−1,1),C(−1,−2,0)A(1, 0, 2), B(0, -1, 1), C(-1, -2, 0) y D(0,2,2)D(0, 2, 2)? Si existe, calcula la ecuación del plano que los contiene.
b
Calcula la ecuación general y las ecuaciones paramétricas del plano que es perpendicular al plano α:2x+y−3z+4=0\alpha: 2x + y - 3z + 4 = 0 y contiene a la recta que pasa por los puntos P(−1,1,2)P(-1, 1, 2) y Q(2,3,6)Q(2, 3, 6).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Enuncia el teorema de Rolle. Calcula el valor de kk para que la función f(x)=x3−kx+10f(x) = x^3 - kx + 10 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−2,0][-2, 0] y para ese valor determina un punto del intervalo en el que se anule la derivada de f(x)f(x).
b
Calcula el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función g(x)=ln⁡(x2−1x2+1)g(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) (Nota: ln = logaritmo neperiano).
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1, su recta tangente en el punto (3,4)(3, 4) y el eje OX (Nota: para el dibujo de la gráfica de la parábola, indica los puntos de corte con los ejes, el vértice y concavidad o convexidad).
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{mx−2y+2z=12x+my+z=2x+3y−z=m\begin{cases} mx - 2y + 2z = 1 \\ 2x + my + z = 2 \\ x + 3y - z = m \end{cases}
b
Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso m=1m = 1.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,2,−3)P(1, 2, -3) y es perpendicular a la rectar:{2x+y+2=03x−z+1=0r: \begin{cases} 2x + y + 2 = 0 \\ 3x - z + 1 = 0 \end{cases}
b
Calcula la distancia dd del punto Q(−1,0,−2)Q(-1, 0, -2) al plano β:x−2y+3z+12=0\beta: x - 2y + 3z + 12 = 0. Calcula, si existe, otro punto de la recta rr que también diste dd del plano β\beta.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En una circunferencia de radio 10 cm10\,\text{cm}, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a ella. ¿Qué longitud debe tener cada uno de estos dos diámetros para que sea máxima el área delimitada por las tres circunferencias (región sombreada)?
Círculo grande con dos círculos menores tangentes interiores a lo largo de un diámetro, con el área entre ellos sombreada.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Define función derivable en un punto. Calcula, si existen, los valores de aa y bb, para que sea derivable la función f(x)={1−xexsi x<0x2+ax+bsi x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{1-x}{e^x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + ax + b & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
b
Define integral indefinida de una función. Calcula ∫x2cos⁡x dx\int x^2 \cos x \, dx.
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