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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno/a debe responder solo a los ejercicios de una de las opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dadas las matrices A=(11−10)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, B=(2−1−11)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} y C=(312−1)C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}:
a
Calcula las matrices B−1B^{-1} y C−1C^{-1}, inversas de las matrices BB y CC respectivamente.1,75 pts
b
Despeja y calcula la matriz XX que verifica At+B⋅X=5C−1A^t + B \cdot X = 5C^{-1}, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula los valores de aa y bb para que la función f(x)=ax2+bx3f(x) = ax^2 + bx^3 tenga un punto de inflexión en (2,16)(2, 16).1,5 pts
b
Consideremos la función f(x)=−x3+6x2f(x) = -x^3 + 6x^2. Calcula y clasifica sus extremos relativos. Determina el punto o puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la función tiene pendiente igual a 99.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Según los datos del año 2013 relativos a las pensiones básicas en alta de la Seguridad Social en nuestra Comunidad Autónoma, se sabe que el 49,5%49{,}5\% de los pensionistas son hombres y de ellos el 11%11\% tiene 85 o más años. Además se sabe también que el 16%16\% del total de pensionistas tienen 85 o más años.
a
Calcula el porcentaje de hombres entre los pensionistas de 85 o más años.1 pt
b
Se elige un pensionista al azar y resulta ser mujer, calcula la probabilidad de que tenga 85 o más años.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Un fabricante garantiza a un laboratorio farmacéutico que sus máquinas producen comprimidos con un diámetro medio no superior a 1313 milímetros, que es el tope admitido por el laboratorio. Se sabe que el diámetro de los comprimidos del fabricante sigue una distribución normal con desviación típica 0,60{,}6 milímetros. El laboratorio comprueba una muestra aleatoria de 100100 comprimidos de ese fabricante y obtiene que el diámetro medio es 13,1213{,}12 milímetros.
a
¿Formula un test para contrastar que el diámetro medio de los comprimidos es el que afirma el fabricante, frente a que es superior? ¿A qué conclusión se llega con un 5%5\% de nivel de significación?1 pt
b
Calcula un intervalo del 95%95\% de confianza para el diámetro medio de los comprimidos de ese fabricante. Interpreta el intervalo obtenido.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Sea la función f(x,y)=x+2yf(x, y) = x + 2y sujeta al conjunto de restricciones y≤x+2y \leq x + 2, x+y≤10x + y \leq 10, x≥−1x \geq -1, y≥−2y \geq -2.
a
Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.1,75 pts
b
Calcula el punto o puntos donde la función ff alcanza su valor máximo y su valor mínimo. Razona si se obtiene el mismo valor máximo si añadimos la restricción y≤3y \leq 3 al conjunto de restricciones anteriores.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Sea la función de población P(t)=8+12tt2+9P(t) = 8 + \frac{12t}{t^2 + 9}, t≥0t \geq 0, donde tt es el tiempo transcurrido en años y P(t)P(t) la población en millones de individuos.
a
Estudia el crecimiento y decrecimiento de la población. Calcula el valor máximo de la población.1,75 pts
b
Calcula cuándo la población es de 9,69{,}6 millones de individuos. Estudia el comportamiento de la población a largo plazo.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Una tienda que vende sus productos a través de Internet utiliza tres empresas de transporte para la entrega de sus pedidos AA, BB y CC. Reparten la entrega de pedidos entre las empresas, de forma que AA entrega la mitad, BB la tercera parte y CC el resto de los pedidos. El 84%84\% de los pedidos entregados por AA, el 90%90\% de los entregados por BB y el 96%96\% de los entregados por CC, cumplen con el plazo de entrega establecido.
a
¿Qué porcentaje de pedidos son entregados en el plazo establecido?1 pt
b
Calcula la probabilidad de que un pedido, seleccionado al azar, o es entregado por la empresa BB o no cumple con el plazo de entrega establecido.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una empresa multinacional que posee delegaciones en Francia y España, realiza un estudio sobre la satisfacción de sus empleados en el trabajo. Por el estudio realizado en la delegación francesa, sabemos que el 45%45\% de los empleados están satisfechos con su trabajo. En la delegación española, de una muestra aleatoria de 16001600 empleados 672672 están satisfechos con su trabajo.
a
Formula un test para contrastar la hipótesis de que la proporción de empleados satisfechos en la delegación española es al menos la misma que en la delegación francesa frente a que es inferior. ¿Cuál sería la conclusión con un 1%1\% de nivel de significación?1,5 pts
b
Explica, en el contexto del problema, en qué consisten los errores de tipo I y de tipo II.0,5 pts
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