Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2017

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sèrie 1
De una función y=f(x)y = f(x) sabemos que su derivada es f′(x)=x3−4xf'(x) = x^3 - 4x.
a
Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y=f(x)y = f(x).1 pt
b
Determine las abscisas de sus extremos relativos y clasifíquelos.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Un taller de joyería dispone de 150 gramos de plata y de 180 horas de trabajo para producir dos modelos de anillos. Para hacer un anillo del modelo A se necesitan 6 gramos de plata y 3 horas de trabajo, mientras que para hacer uno del modelo B se necesitan 2 gramos de plata y 6 horas de trabajo. Los anillos de los modelos A y B proporcionan, respectivamente, 35 y 55 euros de beneficio por unidad. Sabiendo que se venderá toda la producción, determine cuántos anillos de cada modelo hay que producir para obtener el máximo beneficio e indique cuál es este beneficio.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Desde una barca se dispara una bengala de salvamento marítimo que se apaga al cabo de 4 minutos. En este intervalo de tiempo, se comprueba que la intensidad lumínica de la bengala en función del tiempo, medida en porcentajes del 0%0\% al 100%100\%, queda perfectamente descrita por la expresión L(t)=25⋅t⋅(4−t)L(t) = 25 \cdot t \cdot (4 - t), en la que el tiempo tt varía entre 0 y 4 minutos.
a
Calcule para qué valor de tt el porcentaje de intensidad lumínica será máximo.1 pt
b
Si desde la costa la bengala solo es visible cuando su intensidad lumínica es superior al 75%75\%, ¿cuál es el intervalo de tiempo en el que será visible desde la costa y, por lo tanto, será más factible el salvamento?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Una empresa ofrece 225 euros por repartir todo un paquete de folletos de propaganda. Roc, Martí y Guiu deciden hacer el trabajo entre los tres: Martí reparte un 20%20\% del total; Guiu reparte 100 folletos más que Roc, y entre Roc y Martí reparten 850.
a
Calcule el número de folletos que ha repartido cada uno de ellos.1 pt
b
Una vez terminado el trabajo, deciden dividir las ganancias entre los tres, proporcionalmente a los folletos repartidos. Según este criterio, ¿cuánto dinero cobrará Guiu, cuánto cobrará Roc y cuánto Martí?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Considere las matrices A=(1551)A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}, B=(0110)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} y C=(1−1mn)C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ m & n \end{pmatrix}, en las que mm y nn son dos números reales.
a
Compruebe que se cumple la igualdad (A−B)⋅(A+B)=A2−B2(A - B) \cdot (A + B) = A^2 - B^2.1 pt
b
Determine mm y nn de manera que las matrices BB y CC conmuten, es decir, B⋅C=C⋅BB \cdot C = C \cdot B.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sèrie 5
En el año 2008 la nómina de un trabajador era de 1.0001.000 euros. En el año 2009, la empresa donde trabajaba decidió rebajarle la nómina un 10%10\%. En el año 2010, con la intención de recuperar la situación económica del trabajador, la empresa decidió incrementarle la nómina un 10%10\%.
a
Calcule la nómina del trabajador una vez aplicada la rebaja del 10%10\% del año 2009.0,5 pts
b
Calcule la nómina del trabajador después de aplicarle el incremento del 10%10\% del año 2010.0,5 pts
c
Si una nómina de 1.0001.000 euros ha sufrido una rebaja de un 10%10\%, ¿qué incremento porcentual se debe aplicar a la nueva nómina para recuperar el sueldo de 1.0001.000 euros?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Tenemos unas cuantas monedas de un euro distribuidas en tres pilas. Pasamos doce monedas de la tercera pila a la segunda y, a continuación, pasamos diez de la segunda pila a la primera. Una vez hecho esto, las tres pilas tienen la misma cantidad de monedas.
a
¿Con estos datos, podemos determinar la cantidad de monedas que había inicialmente en cada pila? Razone la respuesta.1 pt
b
Averigüe la cantidad de monedas que había inicialmente en cada pila si sabemos que en total hay 51 monedas.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Las pérdidas o los beneficios de una empresa vienen dados por la función f(t)=3t−6t+2f(t) = \frac{3t - 6}{t + 2}, en la que f(t)f(t) se expresa en centenares de miles de euros, una vez transcurridos tt años desde el inicio del 2010.
a
Haga un esbozo de la gráfica de la función f(t)f(t) para t>0t > 0, calculando los intervalos de crecimiento, los cortes con los ejes y las asíntotas.1 pt
b
Al inicio del año 2010, ¿cuántos euros perdía o ganaba la empresa? ¿Qué años tuvo pérdidas la empresa y a partir de qué año dejó de tenerlas?0,5 pts
c
A partir de qué año las ganancias de la empresa fueron mayores o iguales a un centenar de miles de euros? ¿Se pueden superar los tres centenares de miles de euros de beneficios? Razone las respuestas.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Una compañía aérea quiere organizar para este verano un puente aéreo entre el aeropuerto de Barcelona - el Prat y el de Palma de Mallorca, con plazas suficientes de pasaje y carga para transportar como mínimo 1.6001.600 personas y 96 toneladas de equipaje y mercancías. Para hacerlo, tiene a su disposición 11 aviones del tipo A, que pueden transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje y mercancías cada uno, y 8 aviones del tipo B, que pueden transportar 100 personas y 15 toneladas cada uno. Si la contratación de un avión del tipo A cuesta 4.0004.000 euros y la de un avión del tipo B cuesta 1.0001.000:
a
Determine la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región de las posibles opciones que tiene la compañía.1 pt
b
Calcule el número de aviones de cada tipo que hay que contratar para que el coste sea el mínimo y determine cuál es este coste mínimo.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Sèrie 5
El precio en euros de una piedra preciosa es cinco veces el cuadrado de su peso en gramos. Si tenemos una piedra preciosa de 8 gramos y nos planteamos partirla en dos trozos:
a
¿Qué peso debe tener cada uno de los trozos para que el conjunto valga el mínimo posible?1 pt
b
¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo que puede valer este conjunto?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Considere la función f(x)=−x2+bx+cf(x) = -x^2 + bx + c, con bb y cc números reales.
a
Encuentre bb y cc de manera que la gráfica de la función pase por el punto (−1,0)(-1, 0) y tenga un extremo local en el punto de abscisa x=3x = 3. Razone de qué tipo de extremo relativo se trata.1 pt
b
Para el caso b=3b = 3 y c=2c = 2, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica que es paralela a la recta y=5x−2y = 5x - 2.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Considere las matrices A=(a102)A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} y B=(2−101)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcule el valor del parámetro aa para el cual se cumple que A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A.1 pt
b
Para el valor a=2a = 2, encuentre una matriz XX tal que A⋅X⋅A=BA \cdot X \cdot A = B.1 pt
Ver este ejercicio