Matemáticas CCSS · Cataluña 2017

De una función $y = f(x)$ sabemos que su derivada es $f'(x) = x^3 - 4x$.

Un taller de joyería dispone de 150 gramos de plata y de 180 horas de trabajo para producir dos modelos de anillos. Para hacer un anillo del modelo A se necesitan 6 gramos de plata y 3 horas de trabajo, mientras que para hacer uno del modelo B se necesitan 2 gramos de plata y 6 horas de trabajo. Los anillos de los modelos A y B proporcionan, respectivamente, 35 y 55 euros de beneficio por unidad. Sabiendo que se venderá toda la producción, determine cuántos anillos de cada modelo hay que producir para obtener el máximo beneficio e indique cuál es este beneficio.

Desde una barca se dispara una bengala de salvamento marítimo que se apaga al cabo de 4 minutos. En este intervalo de tiempo, se comprueba que la intensidad lumínica de la bengala en función del tiempo, medida en porcentajes del $0\%$ al $100\%$, queda perfectamente descrita por la expresión $L(t) = 25 \cdot t \cdot (4 - t)$, en la que el tiempo $t$ varía entre 0 y 4 minutos.

Una empresa ofrece 225 euros por repartir todo un paquete de folletos de propaganda. Roc, Martí y Guiu deciden hacer el trabajo entre los tres: Martí reparte un $20\%$ del total; Guiu reparte 100 folletos más que Roc, y entre Roc y Martí reparten 850.

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ m & n \end{pmatrix}$, en las que $m$ y $n$ son dos números reales.

En el año 2008 la nómina de un trabajador era de $1.000$ euros. En el año 2009, la empresa donde trabajaba decidió rebajarle la nómina un $10\%$. En el año 2010, con la intención de recuperar la situación económica del trabajador, la empresa decidió incrementarle la nómina un $10\%$.

Tenemos unas cuantas monedas de un euro distribuidas en tres pilas. Pasamos doce monedas de la tercera pila a la segunda y, a continuación, pasamos diez de la segunda pila a la primera. Una vez hecho esto, las tres pilas tienen la misma cantidad de monedas.

Las pérdidas o los beneficios de una empresa vienen dados por la función $f(t) = \frac{3t - 6}{t + 2}$, en la que $f(t)$ se expresa en centenares de miles de euros, una vez transcurridos $t$ años desde el inicio del 2010.

Una compañía aérea quiere organizar para este verano un puente aéreo entre el aeropuerto de Barcelona - el Prat y el de Palma de Mallorca, con plazas suficientes de pasaje y carga para transportar como mínimo $1.600$ personas y 96 toneladas de equipaje y mercancías. Para hacerlo, tiene a su disposición 11 aviones del tipo A, que pueden transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje y mercancías cada uno, y 8 aviones del tipo B, que pueden transportar 100 personas y 15 toneladas cada uno. Si la contratación de un avión del tipo A cuesta $4.000$ euros y la de un avión del tipo B cuesta $1.000$:

El precio en euros de una piedra preciosa es cinco veces el cuadrado de su peso en gramos. Si tenemos una piedra preciosa de 8 gramos y nos planteamos partirla en dos trozos:

Considere la función $f(x) = -x^2 + bx + c$, con $b$ y $c$ números reales.

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.