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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2022

8 ejercicios

Instrucciones

Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que sea compatible:{(a2−1)x+ay+a2z=1(a2−1)x+(a+1)y+(a2+a)z=2y+(a2+2a)z=a+2\begin{cases} (a^2 - 1)x + ay + a^2z = 1 \\ (a^2 - 1)x + (a + 1)y + (a^2 + a)z = 2 \\ y + (a^2 + 2a)z = a + 2 \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Demuestra que se cumple ∣A⋅B∣=0|A \cdot B| = 0 para toda matriz AA de dimensión 3×23 \times 2, siendo BB la siguiente matriz:B=(101012)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcula la ecuación general del plano π\pi perpendicular al plano α≡2x−y−z−1=0\alpha \equiv 2x - y - z - 1 = 0, sabiendo que contiene al punto P(−1,2,1)P(-1, 2, 1) y que la intersección de ambos planos es paralela a la siguiente recta:r≡{x+y−2z−3=0y−z−3=0r \equiv \begin{cases} x + y - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 3 = 0 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Encuentra los puntos de la recta r≡{3x−y+z−6=0x−y+3z−8=0r \equiv \begin{cases} 3x - y + z - 6 = 0 \\ x - y + 3z - 8 = 0 \end{cases} que son centro de una esfera de radio 33, tangente al plano π≡2x+2y−z−7=0\pi \equiv 2x + 2y - z - 7 = 0.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea la función f(x)=sen⁡(π4ln⁡1x)f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{4} \ln \frac{1}{x}\right)
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [1e,e][\frac{1}{e}, e]0,75 pts
b
Demuestra que existe un valor α∈(1e,e)\alpha \in (\frac{1}{e}, e) tal que f′(α)=e21−e2f'(\alpha) = \frac{e\sqrt{2}}{1 - e^2}. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,75 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(x2x2+x−1)2x−1\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2}{x^2 + x - 1}\right)^{2x - 1}1,25 pts
b
lim⁡x→0(ex−1)2ln⁡(x+1)−x\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\ln(x + 1) - x}1,25 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Sea la función f(x)=ln⁡(sen⁡πx6−cos⁡πx6)f(x) = \ln\left(\sen \frac{\pi x}{6} - \cos \frac{\pi x}{6}\right)
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [2,4][2, 4].1 pt
b
Demuestra que existe un valor α∈(2,4)\alpha \in (2, 4) tal que f(α)=0f(\alpha) = 0. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de estas dos funciones:f(x)=x3−3x−2 y g(x)=x−2f(x) = x^3 - 3x - 2 \text{ y } g(x) = x - 2
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