Matemáticas II · Navarra 2022

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} (a^2 - 1)x + ay + a^2z = 1 \\ (a^2 - 1)x + (a + 1)y + (a^2 + a)z = 2 \\ y + (a^2 + 2a)z = a + 2 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Demuestra que se cumple $|A \cdot B| = 0$ para toda matriz $A$ de dimensión $3 \times 2$, siendo $B$ la siguiente matriz: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Calcula la ecuación general del plano $\pi$ perpendicular al plano $\alpha \equiv 2x - y - z - 1 = 0$, sabiendo que contiene al punto $P(-1, 2, 1)$ y que la intersección de ambos planos es paralela a la siguiente recta: $$r \equiv \begin{cases} x + y - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 3 = 0 \end{cases}$$

Encuentra los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} 3x - y + z - 6 = 0 \\ x - y + 3z - 8 = 0 \end{cases}$ que son centro de una esfera de radio $3$, tangente al plano $\pi \equiv 2x + 2y - z - 7 = 0$.

Sea la función $f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{4} \ln \frac{1}{x}\right)$

Calcula los siguientes límites:

Sea la función $f(x) = \ln\left(\sen \frac{\pi x}{6} - \cos \frac{\pi x}{6}\right)$

Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de estas dos funciones: $$f(x) = x^3 - 3x - 2 \text{ y } g(x) = x - 2$$