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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2016

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Discutir, en función del valor de mm, el sistema de ecuaciones lineales {mx+y+z=0my+mz=2\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ my + mz = 2 \end{cases} y resolverlo para m=−1m = -1.1,5 pts
b
Para m=1m = 1 añadir una ecuación al sistema del apartado a) para obtener: en un caso un sistema compatible determinado y en otro caso un sistema incompatible.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Determinar la posición relativa de la recta r≡{x−2y+z=12x−y+z=2r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ 2x - y + z = 2 \end{cases} y el plano π≡5x−y+2z=4\pi \equiv 5x - y + 2z = 4.1 pt
b
Dadas las rectas r1≡x−12=y−1=z5r_1 \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{5} y r2≡{−x+2y−z=32x−3y+z=1r_2 \equiv \begin{cases} -x + 2y - z = 3 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases}, calcular el plano que contiene a r1r_1 y es paralelo a r2r_2.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=2e−2∣x∣f(x) = 2e^{-2|x|}, estudiar: derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y asíntotas.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcular lim⁡x→0+x(e1/x−1)\lim_{x \to 0^+} x(e^{1/x} - 1).1 pt
b
Consideremos la función f(x)=x3+mx2+1f(x) = x^3 + mx^2 + 1 con m≥0m \geq 0. Calcular el valor de mm para que el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)f(x), el eje OXOX y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2 sea 1010.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Sea AA una matriz cuadrada de orden 33 y tal que ∣A∣=2|A| = 2. ¿Tiene inversa la matriz A4A^4? Calcular ∣5A−1∣|5A^{-1}| y ∣(5A)−1∣|(5A)^{-1}|.1,5 pts
b
¿Para qué valores del parámetro aa el rango de la matriz (a+162a)\begin{pmatrix} a+1 & 6 \\ 2 & a \end{pmatrix} es 11?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano π≡2x−2y+4z−5=0\pi \equiv 2x - 2y + 4z - 5 = 0 y que contiene a los puntos (−2,0,0)(-2, 0, 0) y (0,1,0)(0, 1, 0).1,25 pts
b
Dos caras de un cubo están contenidas en los planos π1≡2x−2y+z−1=0\pi_1 \equiv 2x - 2y + z - 1 = 0 y π2≡2x−2y+z+5=0\pi_2 \equiv 2x - 2y + z + 5 = 0. Calcular el volumen de dicho cubo.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1)(1,1) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima en el primer cuadrante.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se considera la parábola y=−x2+2xy = -x^2 + 2x.
a
Calcular las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje OXOX.0,75 pts
b
Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a).1,75 pts
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