Matemáticas II · Castilla y León 2016

Discutir, en función del valor de $m$, el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ my + mz = 2 \end{cases}$ y resolverlo para $m = -1$.

Para $m = 1$ añadir una ecuación al sistema del apartado a) para obtener: en un caso un sistema compatible determinado y en otro caso un sistema incompatible.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ y tal que $|A| = 2$. ¿Tiene inversa la matriz $A^4$? Calcular $|5A^{-1}|$ y $|(5A)^{-1}|$.

¿Para qué valores del parámetro $a$ el rango de la matriz $\begin{pmatrix} a+1 & 6 \\ 2 & a \end{pmatrix}$ es $1$?

Determinar la posición relativa de la recta $r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ 2x - y + z = 2 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv 5x - y + 2z = 4$.

Dadas las rectas $r_1 \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{5}$ y $r_2 \equiv \begin{cases} -x + 2y - z = 3 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases}$, calcular el plano que contiene a $r_1$ y es paralelo a $r_2$.

Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano $\pi \equiv 2x - 2y + 4z - 5 = 0$ y que contiene a los puntos $(-2, 0, 0)$ y $(0, 1, 0)$.

Dos caras de un cubo están contenidas en los planos $\pi_1 \equiv 2x - 2y + z - 1 = 0$ y $\pi_2 \equiv 2x - 2y + z + 5 = 0$. Calcular el volumen de dicho cubo.

Calcular $\lim_{x \to 0^+} x(e^{1/x} - 1)$.

Consideremos la función $f(x) = x^3 + mx^2 + 1$ con $m \geq 0$. Calcular el valor de $m$ para que el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 2$ sea $10$.

Calcular las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje $OX$.

Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a).