Matemáticas II · Cantabria 2024

Dentro de un grupo de estudiantes que realiza un examen hay tres a los que les sale mejor de lo que esperaban. Estos son Antonio, María y Paula. Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la nota de María. El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula y Paula saca dos puntos más que Antonio. Razone si el enunciado expuesto es posible. En caso afirmativo, calcule la nota de cada estudiante.

Considere la función $f(x) = x \ln x$, con $x > 0$.

Considere la recta $r: \begin{cases} x+y+z+5=0 \\ x+2y-z=0 \end{cases}$ y el plano $\pi: 2x+y-\alpha z=3$ en función del parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$. Razone si es posible asignar algún valor al parámetro $\alpha$ para que:

Ciertos síntomas pueden deberse a tres enfermedades diferentes que no se padecen de forma simultánea. Con una probabilidad $0{,}7$ se deben a la enfermedad 1 ($E_1$), con una probabilidad $0{,}2$ a la enfermedad 2 ($E_2$) y con una probabilidad $0{,}1$ a la enfermedad 3 ($E_3$). Existen tres tratamientos diferentes, el A es el adecuado para $E_2$, el B para $E_3$ y el C para $E_1$. Así y todo, cada uno de los tratamientos tiene cierto poder de curación de cada una de las enfermedades. La probabilidad de ser curado con cierto tratamiento cuando se tiene cierta enfermedad viene dada para cada tratamiento y enfermedad por la siguiente tabla. Note que, de acuerdo con la misma, la probabilidad de curarse con el tratamiento A cuando se tiene $E_3$ es de $0{,}4$. ¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece?

Considere la ecuación $AX = B$, donde $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -9 & 6 \\ -1 & 5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$.

Considere la función $f(x) = \begin{cases} \frac{x+1}{x^2+x} & \text{si } x \leq 10 \\ \sqrt{x+1} & \text{si } x > 10 \end{cases}$.

Sean $A = (6, 2, -1)$, $B = (3, 0, 5)$ y $C = (-2, 1, 2)$ los vértices de un triángulo.

La población de mujeres de 18 años sigue una distribución normal de media una altura de $175$ cm y una desviación estándar de $7{,}41$ cm. Supongamos que la probabilidad de que una persona se llame Lucía es $0{,}006$.