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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante debe elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiante debe declarar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, solo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dentro de un grupo de estudiantes que realiza un examen hay tres a los que les sale mejor de lo que esperaban. Estos son Antonio, María y Paula. Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la nota de María. El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula y Paula saca dos puntos más que Antonio. Razone si el enunciado expuesto es posible. En caso afirmativo, calcule la nota de cada estudiante.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considere la función f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x, con x>0x > 0.
1
Calcule la derivada de f(x)f(x).
2
Calcule una primitiva de f(x)f(x).
3
Calcule el área del recinto limitado por f(x)f(x), el eje OXOX de abscisas y las rectas x=1x = 1 y x=2x = 2.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Considere la recta r:{x+y+z+5=0x+2y−z=0r: \begin{cases} x+y+z+5=0 \\ x+2y-z=0 \end{cases} y el plano π:2x+y−αz=3\pi: 2x+y-\alpha z=3 en función del parámetro α∈R\alpha \in \mathbb{R}. Razone si es posible asignar algún valor al parámetro α\alpha para que:
1
la recta esté contenida en el plano. En caso afirmativo, dé un valor para α\alpha.
2
la recta y el plano sean paralelos. En caso afirmativo, dé un valor para α\alpha.
3
la recta y el plano se corten. En caso afirmativo, dé un valor para α\alpha y determine dónde se cortan.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Ciertos síntomas pueden deberse a tres enfermedades diferentes que no se padecen de forma simultánea. Con una probabilidad 0,70{,}7 se deben a la enfermedad 1 (E1E_1), con una probabilidad 0,20{,}2 a la enfermedad 2 (E2E_2) y con una probabilidad 0,10{,}1 a la enfermedad 3 (E3E_3). Existen tres tratamientos diferentes, el A es el adecuado para E2E_2, el B para E3E_3 y el C para E1E_1. Así y todo, cada uno de los tratamientos tiene cierto poder de curación de cada una de las enfermedades. La probabilidad de ser curado con cierto tratamiento cuando se tiene cierta enfermedad viene dada para cada tratamiento y enfermedad por la siguiente tabla. Note que, de acuerdo con la misma, la probabilidad de curarse con el tratamiento A cuando se tiene E3E_3 es de 0,40{,}4. ¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece?
Datos
  • P(E1)=0,7P(E_1) = 0{,}7
  • P(E2)=0,2P(E_2) = 0{,}2
  • P(E3)=0,1P(E_3) = 0{,}1
E1E2E3
Trat. A0.610.4
Trat. B0.650.50.9
Trat. C0.750.20.5
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Considere la ecuación AX=BAX = B, donde A=(−1111−10−210)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} y B=(−96−152−5)B = \begin{pmatrix} -9 & 6 \\ -1 & 5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}.
1
Calcule el determinante de AA.
2
Razone si AA tiene inversa y, en caso afirmativo, calcule la inversa de AA.
3
Determine el número de filas y de columnas de XX para que la ecuación tenga sentido.
4
Calcule el valor de XX.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Considere la función f(x)={x+1x2+xsi x≤10x+1si x>10f(x) = \begin{cases} \frac{x+1}{x^2+x} & \text{si } x \leq 10 \\ \sqrt{x+1} & \text{si } x > 10 \end{cases}.
1
Determine el dominio de definición de f(x)f(x).
2
Determine los intervalos, del dominio de definición, en que f(x)f(x) es continua.
3
Determine si f(x)f(x) tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s).
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Sean A=(6,2,−1)A = (6, 2, -1), B=(3,0,5)B = (3, 0, 5) y C=(−2,1,2)C = (-2, 1, 2) los vértices de un triángulo.
1
Calcule los ángulos internos del triángulo.
2
Calcule el área del triángulo.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
La población de mujeres de 18 años sigue una distribución normal de media una altura de 175175 cm y una desviación estándar de 7,417{,}41 cm. Supongamos que la probabilidad de que una persona se llame Lucía es 0,0060{,}006.
Datos
  • Distribución normal N(175,7,41)N(175, 7{,}41)
  • P(Lucıˊa)=0,006P(\text{Lucía}) = 0{,}006
1
Calcule la probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía y mida más de 180180 cm.
2
Calcule la probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía o mida más de 180180 cm.
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