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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2020

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno elegirá solo TRES problemas entre los seis propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones {x+y+az=1x+ay+z=1ax+y+z=−2\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ ax + y + z = -2 \end{cases}, siendo aa un parámetro real, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El estudio del sistema en función del parámetro aa.5 pts
b
Las soluciones del sistema cuando a=−2a = -2.3 pts
c
La solución del sistema cuando a=0a = 0.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea la recta r:x−11=y+11=z−1r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1} y los puntos P=(1,0,0)P = (1, 0, 0) y Q=(2,1,α)Q = (2, 1, \alpha). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El valor de α\alpha para que la recta que pasa por PP y QQ sea paralela a rr.3 pts
b
La ecuación del plano que contiene a PP y QQ y es paralelo a rr, cuando α=1\alpha = 1.3 pts
c
La distancia del punto QQ al plano que pasa por PP y es perpendicular a rr, cuando α=1\alpha = 1.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se da la función real ff definida por f(x)=x2+1x2(x−1)f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2(x - 1)}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El dominio y las asíntotas de la función ff.3 pts
b
La integral ∫f(x) dx\int f(x) \, dx, así como la primitiva de f(x)f(x) cuya gráfica pasa por el punto (2,0)(2, 0).4 pts
c
El área de la región limitada por la curva y=f(x)y = f(x) y las rectas y=0,x=2,x=4y = 0, x = 2, x = 4.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Se dan las matrices A=(12b0−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} y B=(−102−1b−1)B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix}, que dependen del parámetro real bb. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de bb para que cada una de las matrices ABAB y BABA tenga inversa.3 pts
b
Los valores de bb para que la matriz ATAA^T A tenga inversa, siendo ATA^T la matriz traspuesta de AA.3 pts
c
La inversa de ATAA^T A, cuando dicha inversa exista.4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Se dan el plano π:2x+y−z−5=0\pi: 2x + y - z - 5 = 0 y los puntos A(1,2,−1)A(1, 2, -1), B(2,1,0)B(2, 1, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La ecuación implícita del plano que pasa por los puntos A,BA, B y es perpendicular a π\pi.4 pts
b
Las ecuaciones paramétricas de la recta rr que es perpendicular a π\pi y pasa por AA. Encuentra dos planes cuya intersección sea la recta rr.3 pts
c
La distancia entre el punto BB y la recta rr.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 1010 centímetros cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La expresión del área A(x)A(x) del triángulo, en función de la longitud xx del tercer lado.4 pts
b
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función A(x)A(x), 0≤x≤200 \leq x \leq 20.4 pts
c
La longitud xx del tercer lado para que el área del triángulo sea máxima y el valor de esta área.2 pts
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