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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2016

3 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Sea λ\lambda un parámetro real cualquiera, determine para qué valores de λ\lambda el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:{−x+λy+λz=4λx+λy+z=6−λx+λy+λz=3+λ\begin{cases} -x + \lambda y + \lambda z = 4 \\ \lambda x + \lambda y + z = 6 \\ -\lambda x + \lambda y + \lambda z = 3 + \lambda \end{cases}2 pts
b
Resuélvalo, si es posible, para λ=2\lambda = 2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
1 pt
a.1
Si los vectores w⃗\vec{w} y s⃗\vec{s} verifican que ∣w⃗∣=∣s⃗∣=2|\vec{w}| = |\vec{s}| = 2 y el ángulo que forman w⃗\vec{w} y s⃗\vec{s} es 6060 grados, determine: w⃗⋅(w⃗−s⃗)\vec{w} \cdot (\vec{w} - \vec{s}).0,5 pts
a.2
Si el producto escalar del vector u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} por sí mismo es 2525 y el producto escalar de u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} por sí mismo es 99. ¿Cuánto vale el producto escalar de u⃗\vec{u} por v⃗\vec{v}?0,5 pts
b
Determine el ángulo que forman las rectas siguientes:r:x+13=y2=z+32s:{x−y−z=1x−y+2z=3r: \frac{x + 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 3}{2} \qquad s: \begin{cases} x - y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \end{cases}1 pt
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Ejercicio 3

3
5 puntos
a
Considere la función:f(x)=18x−x2f(x) = \frac{1}{8x - x^2}2,25 pts
a.1
Determine las asíntotas, si existen, de la función f(x)f(x).1,5 pts
a.2
Determine los extremos relativos, si existen, de la función f(x)f(x).0,75 pts
b
Determine:lim⁡x→+∞((ln⁡(x2))(x+1x2+3))\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( (\ln(x^2)) \left( \frac{x + 1}{x^2 + 3} \right) \right)1,25 pts
c
Calcule el área de la región encerrada entre las curvas f(x)=x3f(x) = x^3 y g(x)=2x2−xg(x) = 2x^2 - x.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Sea aa un parámetro real cualquiera. Determine el rango de la matriz siguiente según los diferentes valores del parámetro aa:A=(a+1−1a+10−101−2a)A = \begin{pmatrix} a + 1 & -1 & a + 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & a \end{pmatrix}2 pts
b
Se considera una matriz de orden 3×33 \times 3 cuyas columnas son C1,C2C_1, C_2 y C3C_3 y cuyo determinante es 22. Se define ahora la matriz BB cuyas columnas son −C2,C3+C2-C_2, C_3 + C_2 y 3C13C_1. Determine el determinante de la inversa de BB, si existe.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considere el plano π\pi y la recta rr que aparecen a continuación:π:mx−3y+2z=1,r:{3x+y=12x−y+2z=1\pi : mx - 3y + 2z = 1, \quad r: \begin{cases} 3x + y = 1 \\ 2x - y + 2z = 1 \end{cases}
a
Determine para qué valores del parámetro mm la recta rr y el plano π\pi son secantes, es decir, se cortan.1 pt
b
Determine el ángulo que forman el plano π\pi y la recta rr cuando m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
5 puntos
a
Determine el límite:lim⁡x→+∞(5x+12x−1−32)2x2+1x−1\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{5x + 1}{2x - 1} - \frac{3}{2} \right)^{\frac{2x^2 + 1}{x - 1}}1,5 pts
b
Usando el cambio de variable t=cos⁡(x)t = \cos(x), calcule:∫π4π3sen⁡(x)cos⁡(x)1−cos⁡(x)dx\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sen(x) \cos(x)}{1 - \cos(x)} dx1,5 pts
c
Queremos construir una ventana con la forma de la figura que aparece debajo, es decir rectangular en la parte inferior y semicircular en la superior (la parte superior es un semicírculo completo). Sabiendo que el perímetro total de la ventana son 55 metros, determine las dimensiones de la ventana para que la superficie de la misma sea máxima.2 pts
Esquema de una ventana compuesta por un rectángulo en la base y un semicírculo en la parte superior.
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