Matemáticas II · Aragón 2016

Sea $\lambda$ un parámetro real cualquiera, determine para qué valores de $\lambda$ el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: $$\begin{cases} -x + \lambda y + \lambda z = 4 \\ \lambda x + \lambda y + z = 6 \\ -\lambda x + \lambda y + \lambda z = 3 + \lambda \end{cases}$$

Resuélvalo, si es posible, para $\lambda = 2$.

Sea $a$ un parámetro real cualquiera. Determine el rango de la matriz siguiente según los diferentes valores del parámetro $a$: $$A = \begin{pmatrix} a + 1 & -1 & a + 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & a \end{pmatrix}$$

Se considera una matriz de orden $3 \times 3$ cuyas columnas son $C_1, C_2$ y $C_3$ y cuyo determinante es $2$. Se define ahora la matriz $B$ cuyas columnas son $-C_2, C_3 + C_2$ y $3C_1$. Determine el determinante de la inversa de $B$, si existe.

Determine el ángulo que forman las rectas siguientes: $$r: \frac{x + 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 3}{2} \qquad s: \begin{cases} x - y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \end{cases}$$

Determine para qué valores del parámetro $m$ la recta $r$ y el plano $\pi$ son secantes, es decir, se cortan.

Determine el ángulo que forman el plano $\pi$ y la recta $r$ cuando $m = 1$.

Considere la función: $$f(x) = \frac{1}{8x - x^2}$$

Determine: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( (\ln(x^2)) \left( \frac{x + 1}{x^2 + 3} \right) \right)$$

Calcule el área de la región encerrada entre las curvas $f(x) = x^3$ y $g(x) = 2x^2 - x$.

Determine el límite: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{5x + 1}{2x - 1} - \frac{3}{2} \right)^{\frac{2x^2 + 1}{x - 1}}$$

Usando el cambio de variable $t = \cos(x)$, calcule: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sen(x) \cos(x)}{1 - \cos(x)} dx$$

Queremos construir una ventana con la forma de la figura que aparece debajo, es decir rectangular en la parte inferior y semicircular en la superior (la parte superior es un semicírculo completo). Sabiendo que el perímetro total de la ventana son $5$ metros, determine las dimensiones de la ventana para que la superficie de la misma sea máxima.