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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2018Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2018

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las características siguientes: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla gráfica, almacenamiento de datos alfanuméricos, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas, cálculo de integrales o resolución de ecuaciones. Cualquiera que tenga alguna de estas características será retirada. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se consideran las matrices A=(3183)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} y B=(3−1−83)B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}
a
Compruébese que B es la matriz inversa de A.1 pt
b
Calculése la matriz X tal que A⋅X=BA \cdot X = B.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea S la región del plano definida por:x+y≤50,2x+y≤80,x≥0,y≥0.x + y \leq 50, \qquad 2x + y \leq 80, \qquad x \geq 0, \qquad y \geq 0.
a
Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Obténgase el valor máximo de la función f(x,y)=5x+4yf(x, y) = 5x + 4y en la región S, indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función real de variable real definida por:f(x)={x+2x−1six≤2,3x2−2xx+2six>2.f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x - 1} & \text{si} \quad x \leq 2, \\ \frac{3x^2 - 2x}{x + 2} & \text{si} \quad x > 2. \end{cases}
a
Estúdiese si f(x)f(x) es continua en x=2x = 2.1 pt
b
Calcúlese la función derivada de f(x)f(x) para x<2x < 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En una agencia de viajes se ha observado que el 75%75\% de los clientes acude buscando un billete de transporte, el 80%80\% buscando una reserva de hotel. Se ha observado además que el 65%65\% busca las dos cosas. Elegido un cliente de dicha agencia al azar, calcúlese la probabilidad de que:
a
Acuda buscando un billete de transporte o una reserva de hotel.1 pt
b
Sabiendo que busca una reserva de hotel, también busque un billete de transporte.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La empresa Dulce.SA produce sobres de azúcar cuyo peso en gramos se puede aproximar por una variable aleatoria X con distribución normal con media μ\mu gramos y desviación típica σ=0,5\sigma = 0{,}5 gramos.
a
Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de 0,250{,}25 gramos con un nivel de confianza del 95%95\%.1 pt
b
Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 25 sobres, la media muestral, X‾\overline{X}, pese más de 12,2512{,}25 gramos, sabiendo que μ=12\mu = 12 gramos.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:x+ay+z=1ax+y+(a−1)z=ax+y+z=a+1}\left. \begin{array}{r l} x + ay + z & = 1 \\ ax + y + (a - 1)z & = a \\ x + y + z & = a + 1 \end{array} \right\}
a
Discútase en función de los valores del parámetro a.1 pt
b
Resuélvase para a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable realf(x)=x3(x+1)2.f(x) = \frac{x^3}{(x + 1)^2}.
a
Calcúlense el dominio y las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
b
Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real:f(x)=2x3−5x2+3x.f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x.
a
Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje OX.1 pt
b
Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En una comunidad de vecinos en el 70%70\% de los buzones aparece en primer lugar un nombre masculino y en el 30%30\% restante un nombre femenino. En dicha comunidad, la probabilidad de que un hombre trabaje es de 0,80{,}8 y la probabilidad de que lo haga una mujer es 0,70{,}7. Se elige un buzón al azar, calcúlese la probabilidad de que el primer nombre en el buzón corresponda a:
a
Una persona que trabaja.1 pt
b
Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El número de descargas por hora de cierta aplicación para móviles, se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media μ\mu descargas y desviación típica σ=20\sigma = 20 descargas.
a
Se toma una muestra aleatoria simple de 40 horas, obteniéndose una media muestral de 99,599{,}5 descargas. Determínese un intervalo de confianza al 95%95\% para μ\mu.1 pt
b
Supóngase que μ=100\mu = 100 descargas. Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 horas, la media muestral, X‾\overline{X}, esté entre 100 y 110 descargas.1 pt
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