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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2016

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Sean las matrices A=(1abc1b−1ca)A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ c & 1 & b \\ -1 & c & a \end{pmatrix}, B=(215)B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}, C=(1350)C = \begin{pmatrix} 13 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}, con aa, bb y cc números reales.
1
Calcule los valores de aa, bb y cc para que AB=CAB = C.1,75 pts
2
Calcule la inversa de AA cuando a=0,b=1,c=−1a = 0, b = 1, c = -1.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Sea ff la función dada porf(x)={−3x+3six<1ax2+bx+3si1≤x≤3x2−5si3<xf(x) = \begin{cases} -3x + 3 & \text{si} & x < 1 \\ ax^2 + bx + 3 & \text{si} & 1 \leq x \leq 3 \\ \sqrt{x^2 - 5} & \text{si} & 3 < x \end{cases}
1
Calcule aa y bb para que la función ff sea continua en todo R\mathbb{R}.1 pt
2
Si a=1a = 1 y b=2b = 2 calcule el área encerrada bajo la gráfica de f(x)f(x) entre las rectas y=0,x=0y = 0, x = 0 y x=3x = 3.2,5 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considere los puntos A=(1,1,1),B=(0,−1,1)A = (1, 1, 1), B = (0, -1, 1) y C=(2,−1,2)C = (2, -1, 2) de R3\mathbb{R}^3.
1
Calcule PP, la proyección ortogonal del punto AA sobre la recta BC‾\overline{BC}.1,5 pts
2
Calcule la distancia de AA a la recta BC‾\overline{BC}.1 pt
3
Compruebe que ∣CA⃗∣2−∣AB⃗∣2=∣CP⃗∣2−∣PB⃗∣2|\vec{CA}|^2 - |\vec{AB}|^2 = |\vec{CP}|^2 - |\vec{PB}|^2.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considere el sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro:(a03a321−10−3a)(xyz)=(15−1)\begin{pmatrix} a & 0 & 3a \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & -3a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}
1
Estudie el comportamiento del sistema dependiendo del valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}. Calcule todas sus soluciones cuando el sistema sea compatible.3,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Sea f(x)=xx2+4f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}
1
Estudie el dominio de ff, cortes con los ejes, simetrías respecto del eje OYOY y respecto del origen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales y asíntotas de la función f(x)f(x).2,5 pts
2
Dibuje un esbozo de la gráfica de ff.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sean P=(1,−1,1),Q=(0,1,3),R=(1,2,2)P = (1, -1, 1), Q = (0, 1, 3), R = (1, 2, 2) tres puntos de R3\mathbb{R}^3.
1
Calcule un vector v⃗\vec{v} con la misma dirección y sentido que PQ⃗\vec{PQ} y con el mismo módulo que QR⃗\vec{QR}.1 pt
2
¿Están los puntos P,QP, Q y RR alineados? En caso negativo, calcule el área del triángulo PQRPQR.1 pt
3
Calcule una recta perpendicular a PQ‾\overline{PQ} que pase por el punto RR.1,25 pts
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