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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean AA y BB dos matrices tales que A+2B=(6−303)A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} y A+B=(4−102)A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
a)
Calcule A2A^2.
b)
Calcule la matriz XX que satisface la igualdad A2X−(A+B)t=3I−2XA^2X - (A + B)^t = 3I - 2X siendo II la matriz identidad de orden 2 y (A+B)t(A + B)^t la traspuesta de (A+B)(A + B).
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Discuta, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema: {mx+(m+2)y+z=32mx+3my+2z=5(m−4)y+mz=m\begin{cases} mx + (m + 2)y + z = 3 \\ 2mx + 3my + 2z = 5 \\ (m - 4)y + mz = m \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a)
Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.
b)
Calcule ∫x3ex2 dx\int x^3 e^{x^2} \, dx.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcule los siguientes límites:
a)
lim⁡x→0sen⁡x−ln⁡(1+x)xsen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\sen x - \ln(1 + x)}{x \sen x}
b)
lim⁡x→0esen⁡x−exx2\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sen x} - e^x}{x^2}
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Ejercicio 5

5
2 puntos
a)
Considérese el plano π:4x+2y+bz=2\pi: 4x + 2y + bz = 2 y la recta r:x−23=y−c2=z−34r: \frac{x - 2}{3} = \frac{y - c}{2} = \frac{z - 3}{4}, donde bb y cc son parámetros reales. Calcule los valores que tienen que tomar bb y cc para que la recta rr esté contenida en π\pi.
b)
Calcule la distancia del punto P(1,3,1)P(1, 3, 1) al plano π′:4x+2y−4z=2\pi': 4x + 2y - 4z = 2.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
a)
Considérense los puntos Q(−1,3,−5)Q(-1, 3, -5), R(3,1,0)R(3, 1, 0) y S(0,1,2)S(0, 1, 2). Obtenga la ecuación implícita o general del plano π\pi que contiene a QQ, RR y SS.
b)
Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(3,−1,−1)P(3, -1, -1) y sea perpendicular al plano π:4x+23y+6z−35=0\pi: 4x + 23y + 6z - 35 = 0.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Sabiendo que P(A)=1/3P(A) = 1/3 y P(B)=1/2P(B) = 1/2.
a)
Suponiendo que AA y BB son sucesos independientes, calcule P(A∪B)P(A \cup B) y P(Aˉ/Aˉ∪Bˉ)P(\bar{A} / \bar{A} \cup \bar{B}).
b)
Suponiendo que AA y BB son sucesos incompatibles, calcule P(A∪B)P(A \cup B) y P(Aˉ/Aˉ∪Bˉ)P(\bar{A} / \bar{A} \cup \bar{B}).
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Una máquina que distribuye agua en botellas echa una cantidad de agua que sigue una distribución normal con media igual a 500500 mililitros y desviación típica igual a 44 mililitros.
a)
Si elegimos al azar una de las botellas, ¿cuál es la probabilidad de que lleve entre 499499 y 502502 mililitros?
b)
¿Cuál es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el 97,5%97{,}5\% de estas botellas?
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