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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAragónPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Aragón 2012

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
La suma de la inversión en acciones de una empresa textil, una empresa de gas y una compañía de telefonía es de 74007400€. Las acciones de la empresa textil pagan un 2%2\% de interés anual, las de la empresa de gas un 4%4\% y las de la compañía de telefonía pagan un 5%5\%. La suma del interés anual es de 278278€. La inversión en acciones de la compañía de telefonía es de 10001000€ menos que la suma de la inversión en acciones de la empresa textil y las acciones de la compañía de gas.
a
Plantear un sistema lineal que permita calcular la cantidad invertida en cada una de las acciones.0,75 pts
b
Calcular la cantidad invertida en cada una de las acciones.0,75 pts
c
¿Podemos calcular el capital invertido en cada una de las acciones si cambiamos la tercera condición por “el doble de la inversión en acciones de la compañía de telefonía es de 20002000€ menos que la diferencia de la inversión en las acciones de la empresa textil y las acciones de la compañía de gas”?1 pt
d
Llamando AA a la matriz de coeficientes obtenida en el apartado c), resolver el sistema lineal AX=(000)AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:1 pt
a.1
f(x)=1−x1+xf(x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}0,5 pts
a.2
g(x)=x3/2(x+1)3g(x) = \frac{x^{3/2}}{(x + 1)^3}0,5 pts
b
Calcular ∫14exxdx\int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx.0,5 pts
c
Considerar la función f(x)=x3(x−1)2f(x) = \frac{x^3}{(x - 1)^2}2 pts
c.1
Hallar el dominio de definición de ff.0,5 pts
c.2
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff así como sus máximos y mínimos.1 pt
c.3
Hallar los puntos de inflexión de ff.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Luis y Ramón son jugadores de baloncesto. Luis encesta 33 de cada 55 tiros y Ramón 55 de cada 88. Si ambos tiran a canasta una sola vez, calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
a
Únicamente Luis ha encestado.1 pt
b
Ambos han encestado.1 pt
c
Al menos uno ha encestado.1 pt
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Considerar T={(x,y)∣y≥13x,y≤4x,2x+y≤4,x+2y≤4}T = \left\{ (x, y) \mid y \geq \frac{1}{3}x, y \leq 4x, 2x + y \leq 4, x + 2y \leq 4 \right\}
a
Representar gráficamente el conjunto anterior.1 pt
b
Calcular los extremos de la función 2x+y2x + y sobre el conjunto TT.1,5 pts
c
Calcular los extremos de 2x+y2x + y si añadimos al conjunto TT la restricción x+y≥1x + y \geq 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:1 pt
a.1
f(x)=1x+2ln⁡x−ln⁡xxf(x) = \frac{1}{x} + 2 \ln x - \frac{\ln x}{x}0,5 pts
a.2
g(x)=ex(x−1)2g(x) = \frac{e^x}{(x - 1)^2}0,5 pts
b
Calcular ∫02(4x3+e3x)dx\int_{0}^{2} (4x^3 + e^{3x}) dx.0,5 pts
c
Se ha realizado una encuesta a una determinada población con el fin de determinar el número de personas que utilizarían el sistema de autobuses si la tarifa admitiera distintos importes. Basándose en los resultados de las encuestas, los analistas de sistemas han determinado una función aproximada que expresa el número diario de pasajeros en función de la tarifa. La función demanda viene dada por D(x)=10+3x−54x2D(x) = \sqrt{10 + 3x - \frac{5}{4}x^2}, donde xx representa la tarifa en euros.2 pts
c.1
¿Qué tarifa habrá que aplicar para obtener el mayor número de pasajeros?1 pt
c.2
Si la tarifa aplicada está entre 11 y 22 euros, ¿cómo es la variación en la afluencia de pasajeros? ¿Creciente, decreciente?1 pt
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Ejercicio 3

3
3 puntos
La cantidad de refresco que se sirve en cada vaso a la entrada de unos cines está normalmente distribuida con una desviación típica de 1515 ml. Hemos medido las cantidades en los vasos de los 2525 asistentes de una determinada sesión que compraron un refresco y hemos obtenido un promedio de 200,8200{,}8 ml. Fijado un nivel de confianza del 90%90\%, calcular el intervalo de confianza para la media de la cantidad de refresco que se sirve en cada vaso. Detallar los pasos realizados para obtener los resultados.
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