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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene ocho problemas distribuidos en cuatro bloques. De estos ocho problemas tienes que responder a cuatro, de por lo menos tres bloques diferentes. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. Está permitido el uso de calculadoras científicas que no presenten ninguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibilidad de trasmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Álgebra
Sean las matrices A=(−12−34)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}, B=(−1213−1−1)B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}, C=(3012−1−1)C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
a
Razona qué dimensión deben tener las matrices PP y QQ para que los productos (A⋅P⋅Bt)(A \cdot P \cdot B^t) y (Q⋅A⋅C)(Q \cdot A \cdot C) den como resultado una matriz cuadrada.1 pt
b
Resuelve la ecuación matricial: A⋅X−2B⋅Ct=AtA \cdot X - 2B \cdot C^t = A^t1,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Álgebra
Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas produce mesas y sillas que vende a 2020 € y 3030 €, respectivamente. La empresa quiere saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente para maximizar los ingresos, teniendo en cuenta las siguientes restricciones: El número total de unidades producidas de ambos artículos no podrá exceder de 44, por día. Cada mesa requiere 22 horas para su fabricación y cada silla 33 horas. La jornada laboral máxima es de 1010 horas. El material utilizado en cada mesa cuesta 44 €, y el utilizado en cada silla 22 €. El presupuesto para material es de 1212 € diarios.
PRECIOMATERIALTIEMPOUNIDADES
MESA20 €4 €2 horasx
SILLA30 €2 €3 horasy
a
Plantea y resuelve el problema de maximización.2,1 pts
b
Razona si con estas restricciones se puede fabricar diariamente 11 mesa y 11 silla, y si esto le conviene a la empresa.0,4 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Análisis
a
La gráfica de la función g(x)=ax3+bx+cg(x) = ax^3 + bx + c tiene las siguientes características: • Pasa por el punto (0,0)(0, 0). • Tiene un mínimo relativo en el punto (1,−1)(1, -1). Obtén el valor de los parámetros aa, bb y cc.0,8 pts
b
Determina los máximos relativos, mínimos relativos y puntos de inflexión de la función f(x)=12x3−32xf(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x, y realiza su representación gráfica.1 pt
c
Halla el área de la región limitada por el eje de abscisas OXOX, la gráfica de la función f(x)=12x3−32xf(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x, y las rectas x=3x = 3 y x=4x = 4.0,7 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Análisis
Se considera la función definida por:f(x)={2x2−8x+6si x≤1−2x2+8x−6si x>1f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 8x + 6 & \text{si } x \leq 1 \\ -2x^2 + 8x - 6 & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.1,7 pts
b
Determina los extremos relativos de la función.0,4 pts
c
Representa la gráfica de la función.0,4 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Probabilidad
De una baraja, Lucía y Carlos han extraído 88 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. De esas 88 cartas, Lucía le ha dado dos cartas a Carlos y, posteriormente, ha cogido una carta para ella.
a
Calcula la probabilidad de que Carlos tenga dos ases.0,4 pts
b
Calcula la probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey.0,6 pts
c
Calcula la probabilidad de que Lucía tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.0,7 pts
d
Calcula la probabilidad de que Lucía tenga un rey.0,8 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Probabilidad
Jimena tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro par de color azul y dos pares blancos. Si decide aleatoriamente qué ponerse, determina las probabilidades de los siguientes sucesos:
a
Llevar traje rojo y zapatos blancos.0,3 pts
b
No ir vestida totalmente de blanco.0,4 pts
c
Llevar zapatos azules.0,4 pts
d
Llevar zapatos azules o blancos.0,5 pts
e
Ir vestida totalmente del mismo color.0,4 pts
f
Llevar zapatos rojos, sabiendo que no está vestida totalmente del mismo color.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Inferencia estadística
El número de horas semanales que las y los estudiantes de bachillerato de una determinada ciudad dedican al deporte es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 88 y varianza 7,297{,}29. Se elige una muestra aleatoria simple de tamaño 3636.
a
Indica cuál es la distribución de la media muestral, Xˉ\bar{X}.0,75 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que el número medio de horas semanales que dedican al deporte esté entre 7,827{,}82 y 8,368{,}36?1 pt
c
En la distribución de la media muestral Xˉ\bar{X}, obtén el intervalo característico para el 99 %99\,\%.0,75 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Inferencia estadística
En una cierta universidad se ha tomado una muestra aleatoria simple de 400400 estudiantes, y se ha observado que de ellos 160160 han aprobado todas las asignaturas.
a
Estima el porcentaje de estudiantes de esa universidad que aprueban todas las asignaturas, con un nivel de confianza del 97 %97\,\%.1,25 pts
b
Calcula el error máximo admisible, con el nivel de confianza indicado.0,5 pts
c
A la vista del resultado anterior, se quiere repetir la experiencia para conseguir que el error máximo admisible no sea superior a 0,040{,}04, con el mismo nivel de confianza. ¿Cuántos estudiantes, como mínimo, ha de tener la muestra?0,75 pts
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