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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2023

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
BLOQUE: ÁLGEBRA
Sean las matrices A=(−12−34)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}, B=(−1213−1−1)B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}, C=(3012−1−1)C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
a)1 pts
Razona qué dimensión deben tener las matrices PP y QQ para que los productos (A⋅P⋅Bt)(A \cdot P \cdot B^t) y (Q⋅A⋅C)(Q \cdot A \cdot C) den como resultado una matriz cuadrada.
b)1,5 pts
Resuelve la ecuación matricial: A⋅X−2B⋅Ct=AtA \cdot X - 2B \cdot C^t = A^t
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
BLOQUE: ÁLGEBRA
Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas produce mesas y sillas que vende a 2020 € y 3030 €, respectivamente. La empresa quiere saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente para maximizar los ingresos, teniendo en cuenta las siguientes restricciones: El número total de unidades producidas de ambos artículos no podrá exceder de 44, por día. Cada mesa requiere 22 horas para su fabricación y cada silla 33 horas. La jornada laboral máxima es de 1010 horas. El material utilizado en cada mesa cuesta 44 €, y el utilizado en cada silla 22 €. El presupuesto para material es de 1212 € diarios.
PRECIOMATERIALTIEMPOUNIDADES
MESA20 €4 €2 horasx
SILLA30 €2 €3 horasy
a)2,1 pts
Plantea y resuelve el problema de maximización.
b)0,4 pts
Razona si con estas restricciones se puede fabricar diariamente 11 mesa y 11 silla, y si esto le conviene a la empresa.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
BLOQUE: ANÁLISIS
a)0,8 pts
La gráfica de la función g(x)=ax3+bx+cg(x) = ax^3 + bx + c tiene las siguientes características: • Pasa por el punto (0,0)(0, 0). • Tiene un mínimo relativo en el punto (1,−1)(1, -1). Obtén el valor de los parámetros aa, bb y cc.
b)1 pts
Determina los máximos relativos, mínimos relativos y puntos de inflexión de la función f(x)=12x3−32xf(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x, y realiza su representación gráfica.
c)0,7 pts
Halla el área de la región limitada por el eje de abscisas OXOX, la gráfica de la función f(x)=12x3−32xf(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x, y las rectas x=3x = 3 y x=4x = 4.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
BLOQUE: ANÁLISIS
Se considera la función definida por: f(x)={2x2−8x+6si x≤1−2x2+8x−6si x>1f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 8x + 6 & \text{si } x \leq 1 \\ -2x^2 + 8x - 6 & \text{si } x > 1 \end{cases}
a)1,7 pts
Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.
b)0,4 pts
Determina los extremos relativos de la función.
c)0,4 pts
Representa la gráfica de la función.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
BLOQUE: PROBABILIDAD
De una baraja, Lucía y Carlos han extraído 88 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. De esas 88 cartas, Lucía le ha dado dos cartas a Carlos y, posteriormente, ha cogido una carta para ella.
a)0,4 pts
Calcula la probabilidad de que Carlos tenga dos ases.
b)0,6 pts
Calcula la probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey.
c)0,7 pts
Calcula la probabilidad de que Lucía tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.
d)0,8 pts
Calcula la probabilidad de que Lucía tenga un rey.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
BLOQUE: PROBABILIDAD
Jimena tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro par de color azul y dos pares blancos. Si decide aleatoriamente qué ponerse, determina las probabilidades de los siguientes sucesos:
a)0,3 pts
Llevar traje rojo y zapatos blancos.
b)0,4 pts
No ir vestida totalmente de blanco.
c)0,4 pts
Llevar zapatos azules.
d)0,5 pts
Llevar zapatos azules o blancos.
e)0,4 pts
Ir vestida totalmente del mismo color.
f)0,5 pts
Llevar zapatos rojos, sabiendo que no está vestida totalmente del mismo color.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA
El número de horas semanales que las y los estudiantes de bachillerato de una determinada ciudad dedican al deporte es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 88 y varianza 7,297{,}29. Se elige una muestra aleatoria simple de tamaño 3636.
a)0,75 pts
Indica cuál es la distribución de la media muestral, Xˉ\bar{X}.
b)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que el número medio de horas semanales que dedican al deporte esté entre 7,827{,}82 y 8,368{,}36?
c)0,75 pts
En la distribución de la media muestral Xˉ\bar{X}, obtén el intervalo característico para el 99 %99\,\%.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA
En una cierta universidad se ha tomado una muestra aleatoria simple de 400400 estudiantes, y se ha observado que de ellos 160160 han aprobado todas las asignaturas.
a)1,25 pts
Estima el porcentaje de estudiantes de esa universidad que aprueban todas las asignaturas, con un nivel de confianza del 97 %97\,\%.
b)0,5 pts
Calcula el error máximo admisible, con el nivel de confianza indicado.
c)0,75 pts
A la vista del resultado anterior, se quiere repetir la experiencia para conseguir que el error máximo admisible no sea superior a 0,040{,}04, con el mismo nivel de confianza. ¿Cuántos estudiantes, como mínimo, ha de tener la muestra?
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