Matemáticas CCSS · Andalucía 2014

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 3/4 & 0 \end{pmatrix}$, siendo $a$ un número real cualquiera.

La función de beneficios $f$, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida $x$, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por $f(x) = -2x^2 + 36x + 138$, $x \geq 0$.

Sea la función $f$ definida por $f(x) = \begin{cases} -bx^2 - bx + a & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{60}{x} & \text{si } x > 2 \end{cases}$.

Una urna, A, contiene siete bolas numeradas del 1 al 7. Otra urna, B, contiene cinco bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que si sale cara, extraeremos una bola de la urna A, y, si sale cruz, la extraemos de la urna B. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar:

Se quiere hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los libros de narrativa que se venden en la actualidad. Para ello se elige una muestra aleatoria de 121 libros, encontrando que tienen un precio medio de $23$ €. Se sabe que el precio de los libros de narrativa sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica $5$ €.

Un titular de prensa afirma que el $70\%$ de los jóvenes de una ciudad utilizan las redes sociales para comunicarse. Para contrastar la veracidad de tal afirmación se toma una muestra aleatoria de $500$ jóvenes de esa ciudad, y se obtiene que $340$ de ellos utilizan la red para comunicarse. Analice mediante un contraste de hipótesis bilateral, $(H_0 : p = 0{,}7)$, si se puede aceptar, con un nivel de significación del $1\%$, que dicha afirmación es cierta.