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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2015Modelo 1

Matemáticas II · Andalucía 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función dada por f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Halla los coeficientes a,b,ca, b, c y dd sabiendo que ff presenta un extremo local en el punto de abscisa x=0x = 0, que (1,0)(1, 0) es punto de inflexión de la gráfica de ff y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es −3-3.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula el valor de a>1a > 1 sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y=−x2+axy = -x^2 + ax y la recta y=xy = x es 43\frac{4}{3}.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema dado por AX=BAX = BA=(α2−101234α),B=(1α−23) y X=(xyz). A = \begin{pmatrix} \alpha & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & \alpha \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha - 2 \\ 3 \end{pmatrix} \text{ y } X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.
a
Determina, si existen, los valores de α\alpha para los que el sistema tiene solución única.0,75 pts
b
Determina, si existen, los valores de α\alpha para los que el sistema no tiene solución.0,75 pts
c
Determina, si existen, los valores de α\alpha para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos B(1,2,−3)B(1, 2, -3), C(9,−1,2)C(9, -1, 2), D(5,0,−1)D(5, 0, -1) y la recta r≡{x+y+1=0y−z=0r \equiv \begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}
a
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son BB, CC y DD.1,25 pts
b
Halla un punto AA en la recta rr de forma que el triángulo ABCABC sea rectángulo en AA.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=x2−∣x∣f(x) = x^2 - |x|.
a
Estudia la derivabilidad de ff.0,5 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1 pt
c
Calcula los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=x2+1x2(x−1)f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2(x - 1)} para x≠0x \neq 0 y x≠1x \neq 1 y sea FF la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto P(2,ln⁡(2))P(2, \ln(2)) (ln⁡\ln denota logaritmo neperiano).
a
Calcula la recta tangente a la gráfica de FF en el punto PP.0,5 pts
b
Determina la función FF.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(111123149)yB=(−1111−1111−1). A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
a
Halla la matriz XX que verifica AX−B=IAX - B = I (II denota la matriz identidad de orden 3).1,75 pts
b
Calcula el determinante de la matriz (A2B−1)2015(A^2 B^{-1})^{2015}.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1) y la recta rr dada por {x+y=0z−1=0\begin{cases} x + y = 0 \\ z - 1 = 0 \end{cases}
a
Halla la distancia de PP a rr.1,5 pts
b
Determina la ecuación general del plano que pasa por PP y contiene a rr.1 pt
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