Matemáticas II · Navarra 2012

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a - 3) x - 2 z = 2 \\ (a - 3) x + (a - 1) y - z = 3 \\ (a - 3) x + (a - 1) y + (a + 1) z = a^2 - 1 \end{cases}$$

Calcula el determinante de $(A + B)^3$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Los puntos $P \equiv (1, -1, 3)$, $Q \equiv (3, 0, 5)$ y $R \equiv (2, 1, 1)$ son tres vértices de un cuadrado. Encuentra el cuarto vértice.

Dados los planos $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z - 1 = 0$ y $\pi_2 \equiv x - 2y + 2z - 3 = 0$, encuentra la ecuación general de los dos planos cuyos puntos equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.

Calcula los siguientes límites

Dada la función $$f(x) = (1 - x) \cos(\pi x^3)$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (0, 1)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{2}$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dada la función $$f(x) = \frac{(x^3 - x + 2) \ln \sqrt{e^{4x + 7}}}{2x^4 + x^2 + 1}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 1$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 1$ y $g(x) = 3 - x^2$, calcula el área de la región del semiplano $y \geq 0$ encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.