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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2012

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a−3)x−2z=2(a−3)x+(a−1)y−z=3(a−3)x+(a−1)y+(a+1)z=a2−1\begin{cases} (a - 3) x - 2 z = 2 \\ (a - 3) x + (a - 1) y - z = 3 \\ (a - 3) x + (a - 1) y + (a + 1) z = a^2 - 1 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Los puntos P≡(1,−1,3)P \equiv (1, -1, 3), Q≡(3,0,5)Q \equiv (3, 0, 5) y R≡(2,1,1)R \equiv (2, 1, 1) son tres vértices de un cuadrado. Encuentra el cuarto vértice.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites
a
lim⁡x→0tg⁡2x1−cos⁡(2x)\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tg^2 x}{1 - \cos(2x)}1 pt
b
lim⁡x→+∞(x+2x)2x+1\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{2x + 1}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la funciónf(x)=(x3−x+2)ln⁡e4x+72x4+x2+1f(x) = \frac{(x^3 - x + 2) \ln \sqrt{e^{4x + 7}}}{2x^4 + x^2 + 1}demuestra que existe un valor α∈(−1,1)\alpha \in (-1, 1) tal que f′(α)=1f'(\alpha) = 1. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Calcula el determinante de (A+B)3(A + B)^3, siendoA=(1−2011−1231)yB=(−110132−102)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados los planos π1≡2x+2y−z−1=0\pi_1 \equiv 2x + 2y - z - 1 = 0 y π2≡x−2y+2z−3=0\pi_2 \equiv x - 2y + 2z - 3 = 0, encuentra la ecuación general de los dos planos cuyos puntos equidistan de π1\pi_1 y π2\pi_2.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)=(1−x)cos⁡(πx3)f(x) = (1 - x) \cos(\pi x^3)demuestra que existe un valor α∈(0,1)\alpha \in (0, 1) tal que f′(α)=12f'(\alpha) = \frac{1}{2}. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 y g(x)=3−x2g(x) = 3 - x^2, calcula el área de la región del semiplano y≥0y \geq 0 encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).
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