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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2016

14 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Mi amigo Diego dice que la función f(x)={−2ax2+4bx+1,x>1ax+b,1≥x≥−12ax2+2bx−1,x<−1 f(x) = \begin{cases} -2ax^2 + 4bx + 1, & x > 1 \\ ax + b, & 1 \geq x \geq -1 \\ 2ax^2 + 2bx - 1, & x < -1 \end{cases} con aa y bb números reales, no es continua para ninguna pareja de valores aa y bb. Yo le he dicho que no tiene razón y que es continua para infinitas parejas de valores aa y bb. ¿Quién de los dos tiene razón? Argumenta tu respuesta.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Mi amigo Diego dice que la función f(x)={−2ax2+4bx+1,x>1ax+b,1≥x≥−12ax2+2bx−1,x<−1 f(x) = \begin{cases} -2ax^2 + 4bx + 1, & x > 1 \\ ax + b, & 1 \geq x \geq -1 \\ 2ax^2 + 2bx - 1, & x < -1 \end{cases} con aa y bb números reales, no es continua para ninguna pareja de valores aa y bb. Yo le he dicho que no tiene razón y que es continua para infinitas parejas de valores aa y bb. ¿Quién de los dos tiene razón? Argumenta tu respuesta.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Si A=(−46−35)A = \begin{pmatrix} -4 & 6 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}, calcula las matrices A−I2−2⋅A−1A - I_2 - 2 \cdot A^{-1} y (A−2⋅A−1)2016(A - 2 \cdot A^{-1})^{2016}. Nota: I2I_2 denota la matriz identidad de orden dos y A−1A^{-1} la matriz inversa de AA.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Si A=(−46−35)A = \begin{pmatrix} -4 & 6 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}, calcula las matrices A−I2−2⋅A−1A - I_2 - 2 \cdot A^{-1} y (A−2⋅A−1)2016(A - 2 \cdot A^{-1})^{2016}. Nota: I2I_2 denota la matriz identidad de orden dos y A−1A^{-1} denota la matriz inversa de AA.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Se sabe que la edad de los trabajadores en las fábricas de calzado de la zona de Arnedo sigue una distribución normal de desviación típica 1010. Con una muestra de trabajadores elegida al azar se ha obtenido una media de 4242 años. Si el intervalo de confianza al 90%90\% para la media de edad es (39,25,44,75)(39{,}25, 44{,}75), ¿cuál ha sido el tamaño de la muestra utilizada? (Véase la Tabla simplificada para la normal tipificada al final del examen.)
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Se sabe que la edad de los trabajadores en las fábricas de calzado de la zona de Arnedo sigue una distribución normal de desviación típica 1010. Con una muestra de trabajadores elegida al azar se ha obtenido una media de 4242 años. Si el intervalo de confianza al 90%90\% para la media de edad es (39,25,44,75)(39{,}25, 44{,}75), ¿cuál ha sido el tamaño de la muestra utilizada? (Véase la Tabla simplificada para la normal tipificada al final del examen.)
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Calcular el área de la región limitada por las curvas y=x3y = x^3 y y=x(8−x2)y = x(8 - x^2). En la figura siguiente se muestra sombreada la región cuya área se solicita.
Gráfica de las funciones y=x^3 e y=x(8-x^2) mostrando la región sombreada entre ellas.
Gráfica de las funciones y=x^3 e y=x(8-x^2) mostrando la región sombreada entre ellas.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Calcular el área de la región limitada por las curvas y=x3y = x^3 y y=x(8−x2)y = x(8 - x^2). En la figura siguiente se muestra sombreada la región cuya área se solicita.
Gráfica de las funciones y=x^3 e y=x(8-x^2) mostrando la región sombreada entre ellas.
Gráfica de las funciones y=x^3 e y=x(8-x^2) mostrando la región sombreada entre ellas.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Para la próxima temporada de otoño-invierno, el programador del Teatro Timorato debe seleccionar tres espectáculos de entre dieciséis propuestas que ha recibido y, puesto que le gustan todas, ha decidido hacer la selección por sorteo. Como estamos en año Cervantes, entre las propuestas recibidas hay seis inspiradas o basadas en textos de dicho autor. ¿Qué probabilidad tiene de programar al menos un espectáculo cervantino?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación.

Para la próxima temporada de otoño-invierno, el programador del Teatro Timorato debe seleccionar tres espectáculos de entre dieciséis propuestas que ha recibido y, puesto que le gustan todas, ha decidido hacer la selección por sorteo. Como estamos en año Cervantes, entre las propuestas recibidas hay seis inspiradas o basadas en textos de dicho autor. ¿Qué probabilidad tiene de programar al menos un espectáculo cervantino?
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
3 puntos
Parte A2
Consideremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas siguiente: {(1+a)x+(2−a)y+z=22ax+y+z=2(1−a)x+(1−a)y+z=3 \begin{cases} (1 + a) x + (2 - a) y + z = 2 \\ 2ax + y + z = 2 \\ (1 - a) x + (1 - a) y + z = 3 \end{cases}
a)1 pts
Determinar los valores del parámetro aa para los que el sistema es compatible y determinado.
b)1 pts
¿Existe algún valor de aa para el que el sistema es compatible e indeterminado?, ¿e incompatible?
c)1 pts
Resolver el sistema para a=1a = 1.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
3 puntos
Parte B2
Sea la función f(x)=−xx2+b3f(x) = \frac{-x}{x^2 + b^3}, donde supondremos que bb es un valor real no nulo.
a)1 pts
Determinar bb si la recta tangente a la función dada en x=1x = 1 es paralela a la recta y=x+6102y = x + 6102.
b)1 pts
Calcular lim⁡x→+∞(1f(x)+x−2)\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{f(x)} + x - 2 \right).
c)1 pts
Para b=4b = 4, estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y determinar sus extremos relativos.
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
3 puntos
Parte A2
Una urna contiene seis bolas rojas y cuatro negras. Se extrae uno de ellas al azar y se introducen en la urna una bola del color de la extraída y dos del otro color. Tras la reposición, se extrae una segunda bola.
a)1 pts
Calcula la probabilidad de sacar una bola roja en la segunda extracción.
b)1 pts
Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color.
c)1 pts
Si en la segunda extracción hemos sacado una bola roja, calcula la probabilidad de que en la primera también lo haya sido.
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
3 puntos
Parte B2
En un colegio de educación infantil deben solicitar la ayuda de las madres y los padres de los niños para realizar una actividad en el centro. Los profesores tienen una serie de necesidades y se han impuesto las siguientes limitaciones: 1. El número de padres debe ser igual o mayor que el de madres. 2. La diferencia entre el número de padres y el doble del número de madres debe ser menor o igual que cuatro. 3. El número total de madres y padres debe ser al menos cuatro pero no exceder diez. Echa una mano a los profesores y resuelve las siguientes cuestiones:
a)1 pts
Plantea el conjunto de restricciones del problema.
b)1 pts
Dibuja la región factible asociada con las restricciones anteriores.
c)1 pts
Si las madres pueden dedicar, de media, cuatro horas a la actividad y los padres tres, ¿cuál debe ser la distribución de padres y madres por la que deben optar los profesores para maximizar el tiempo dedicado por las familias a la actividad?
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