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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2020

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las funciones f(x)=x3f(x) = x^3 y g(x)=a⋅x2g(x) = a \cdot x^2, en las que aa es un número real positivo.
a
Encuentre, en función del parámetro aa, los puntos de corte entre las dos curvas y=f(x)y = f(x) e y=g(x)y = g(x) y haga un esbozo de la región limitada por las dos gráficas.1,25 pts
b
Calcule el valor de aa para que el área comprendida entre y=f(x)y = f(x) e y=g(x)y = g(x) sea 274 u2\frac{27}{4}\,u^2.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Un avión se desplaza desde un punto A=(0,3,1)A = (0, 3, 1) hacia una plataforma plana de ecuación π:x−2y+z=1\pi: x - 2y + z = 1 siguiendo una recta rr paralela al vector v⃗=(1,−1,0)\vec{v} = (1, -1, 0).
a
Calcule las coordenadas del punto de contacto BB del avión con el plano y la distancia recorrida.1,25 pts
b
Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la plataforma y que contiene la recta rr seguida por el avión desde el punto AA.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea f(x)f(x) una función derivable cuya gráfica pasa por el punto (0,1)(0, 1). La gráfica de su derivada, f′(x)f'(x), es la que se muestra en la figura.
Gráfica de la función derivada f'(x) mostrando cortes con el eje x en -2, 0 y 1.
a
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de la gráfica de abscisa x=0x = 0.1,25 pts
b
Encuentre las abscisas de los puntos singulares de la función f(x)f(x) y clasifíquelos.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la matriz A=(a−304a−711−1−1)A = \begin{pmatrix} a & -3 & 0 \\ 4 & a-7 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, en la que aa es un parámetro real.
a
Estudie el rango de la matriz AA para los diferentes valores del parámetro aa.1,25 pts
b
Compruebe que para a=4a = 4 la matriz AA es invertible y que se verifica que A−1=A2A^{-1} = A^2.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Una empresa está trabajando en el diseño de unas cápsulas de café. La empresa ha construido la sección transversal de las cápsulas inscribiéndola en una semicircunferencia de radio 1, trazando a continuación una cuerda CDCD paralela al diámetro ABAB e incorporando el punto EE en el punto medio del arco CDCD. De esta manera queda trazado el pentágono ACEDBACEDB, tal como se muestra en la figura.
Sección transversal de la cápsula inscrita en una semicircunferencia con el pentágono ACEDB, indicando la altura h y la semilongitud x de la cuerda CD.
a
Exprese en función de xx y hh el área del pentágono ACEDBACEDB.1,25 pts
b
¿Cuál debe ser la distancia (indicada en la figura por hh) a la que se debe situar la cuerda CDCD de ABAB para que el área del pentágono ACEDBACEDB sea máxima?1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Sean las rectas rr y ss, expresadas por x−32=y=z−1\frac{x-3}{2} = y = z-1 y (x,y,z)=(μ,−μ,μ)(x, y, z) = (\mu, -\mu, \mu), respectivamente.
a
Determine la posición relativa de las rectas.1,25 pts
b
Calcule la distancia entre la recta rr y la recta ss.1,25 pts
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