Matemáticas II · Cataluña 2020

Sean las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = a \cdot x^2$, en las que $a$ es un número real positivo.

Un avión se desplaza desde un punto $A = (0, 3, 1)$ hacia una plataforma plana de ecuación $\pi: x - 2y + z = 1$ siguiendo una recta $r$ paralela al vector $\vec{v} = (1, -1, 0)$.

Sea $f(x)$ una función derivable cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1)$. La gráfica de su derivada, $f'(x)$, es la que se muestra en la figura.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & -3 & 0 \\ 4 & a-7 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$, en la que $a$ es un parámetro real.

Una empresa está trabajando en el diseño de unas cápsulas de café. La empresa ha construido la sección transversal de las cápsulas inscribiéndola en una semicircunferencia de radio 1, trazando a continuación una cuerda $CD$ paralela al diámetro $AB$ e incorporando el punto $E$ en el punto medio del arco $CD$. De esta manera queda trazado el pentágono $ACEDB$, tal como se muestra en la figura.

Sean las rectas $r$ y $s$, expresadas por $\frac{x-3}{2} = y = z-1$ y $(x, y, z) = (\mu, -\mu, \mu)$, respectivamente.