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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTES: Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones y no es necesario hacerlo en el mismo orden en que están enunciadas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 cuestiones, sólo se corregirán las cuatro primeras, en el orden que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{x+ay−z=02x+y+az=0x+5y−az=a+1\begin{cases} x + ay - z = 0 \\ 2x + y + az = 0 \\ x + 5y - az = a + 1 \end{cases}
a
Determine para qué valores de aa el sistema tiene solución única.0,75 pts
b
Determine para qué valor de aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1 pt
c
Determine para qué valor de aa el sistema no tiene solución.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la matriz A=(2a−12)A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a
Si se denota por tr⁡(A)\operatorname{tr}(A) la traza de la matriz AA (es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal) y por ∣A∣|A| el determinante de AA, compruebe que, para cualquier valor de aa, se cumple la ecuación A2=tr⁡(A)A−∣A∣IA^2 = \operatorname{tr}(A)A - |A|I, donde II denota la matriz identidad de orden 2.1 pt
b
Determine para qué valores de aa la matriz AA es regular (o inversible).0,5 pts
c
Para a=−3a = -3, resuelva la ecuación matricial AX−At=AAX - A^t = A, donde AtA^t denota la matriz traspuesta de AA.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} definida para todo valor de x∈Rx \in \mathbb{R}, se pide:
a
Calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos) y determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.1,5 pts
b
Calcule lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) y lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x)1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫xsen⁡(x2) dx\int x \sen(x^2) \, dx utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitución).1,5 pts
b
Determine el menor valor de a>0a > 0 para el cual se cumple ∫0axsen⁡(x2) dx=1\int_{0}^{a} x \sen(x^2) \, dx = 11 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere las rectas de ecuacionesr:x−11=y1=z−1−1ys:{x−2y=−1y+z=1r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-1} \quad y \quad s: \begin{cases} x - 2y = -1 \\ y + z = 1 \end{cases}
a
Compruebe que las rectas se cortan en un punto y calcule su punto de corte.0,75 pts
b
Determine el ángulo que forman las dos rectas.1 pt
c
Calcule la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Los puntos A=(2,0,0)A = (2,0,0) y B=(1,12,4)B = (1,12,4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice CC se encuentra en la recta rr dada porr:{4x+3z=33y=0r: \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}
a
Calcule las coordenadas del tercer vértice CC sabiendo que la recta rr es perpendicular a la recta que pasa por AA y CC.1,5 pts
b
Determine si el triángulo ABCABC tiene un ángulo recto en AA y calcule su área.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Una urna contiene cinco bolas negras, numeradas del 1 al 5, y siete bolas blancas, numeradas del 1 al 7. Se saca de la urna una bola al azar. Calcule:
a
La probabilidad de que la bola sea blanca.0,5 pts
b
La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par.0,5 pts
c
La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par, sabiendo que es una bola blanca.0,5 pts
d
La probabilidad de que la bola sea blanca y esté numerada con un número par.0,5 pts
e
La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que está numerada con un número par.0,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Juan es un estudiante bastante despistado y su tutora está cansada de que llegue tarde a clase. Él se defiende diciendo que no es para tanto y que la tutora le tiene manía. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 9 días Juan llega tarde como mucho 2 días, la tutora le sube 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Juan llegue tarde a clase cada día es 0,450{,}45, determine:
a
El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Juan llega tarde a clase en los próximos 9 días. ¿Cuáles son sus parámetros?1 pt
b
¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?0,5 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que Juan consiga la ansiada subida de 1 punto en la nota final?1 pt
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