Matemáticas CCSSBalearesPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo: 1 hora y 30 minutos

Conteste de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas entre las ocho propuestas.

10 puntos

Dado el sistema de ecuaciones siguiente

\begin{array}{l} 3x + 2y + z = 1 \\ -mx + 2y + z = 2 \end{array}

1. Calculad independientemente del parámetro

m

Discutid para qué valores de

m

el sistema tiene solución y cuántas tiene en cada caso.5 pts

5 pts

Hallad la solución del sistema para

m = 2

.5 pts

5 pts

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10 puntos

Dadas las matrices

X = \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix}

Hallad los valores de

k

para los cuales

Y

es invertible.3 pts

3 pts

Hallad la inversa de

Y

para

k = 1

.3 pts

3 pts

Determinad los valores de

m

n

para los cuales la matriz

X

cumple

X^2 - 4X + nId = 0,

donde

Id

denota la matriz identidad

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

0

la matriz nula

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

.4 pts

4 pts

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10 puntos

El dueño de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlos mejor confeccionará dos tipos de paquetes: el tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos bombones y se venderá a 1.5 euros. El tipo B estará formado por un paquete de pipas, cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2 euros.

Plantead la maximización del beneficio de la tienda como un problema de programación lineal.4 pts

4 pts

Dibujad la región factible para la solución, indicando las rectas y vértices que la delimitan.4 pts

4 pts

Calculad el número de paquetes de tipo A y B que se deben confeccionar y vender para obtener un beneficio máximo. Determinad también ese beneficio máximo.2 pts

2 pts

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10 puntos

Dada la función

f(x) = -\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+3}

Hallad el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento.5 pts

5 pts

Calculad una primitiva de

f(x)

.3 pts

3 pts

Calculad el área limitada por la gráfica de

f(x)

y las rectas

x=4

x=7

y=0

.2 pts

2 pts

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10 puntos

Una academia de inglés cobra una cuota de 50 euros mensuales y tiene 200 estudiantes. Un estudio de mercado afirma que por cada 2 euros que se sube (o se baja) la cuota se pierden (o se ganan) 10 estudiantes.

Escribid el número de estudiantes de la academia en función del precio de la cuota.3 pts

3 pts

¿Para qué valor de la cuota la academia se quedaría sin estudiantes?2 pts

2 pts

Determinad en qué precio hay que fijar la cuota para obtener un ingreso mensual máximo. ¿Cuál sería ese ingreso y cuántos estudiantes tendría la academia?5 pts

5 pts

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10 puntos

La evolución de la población de un Estado, en millones de habitantes, se puede aproximar mediante la función

P(t) = \frac{20t}{4 + t^2} + 40, \quad t \geq 0

donde

t

es el tiempo en años.

Calculad la población actual (para

t=0

).2 pts

2 pts

Determinad el límite de

P(t)

cuando

t

tiende a infinito.3 pts

3 pts

Determinad al cabo de cuántos años la población será máxima y el número de habitantes que la función predice para ese máximo.5 pts

5 pts

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10 puntos

En una universidad se ha observado que la distribución de las calificaciones de Física en los estudios de Ingeniería Informática sigue una ley normal de media

\mu = 5.1

puntos y desviación típica

\sigma = 1.6

¿Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar obtenga una nota inferior a 4 puntos?3 pts

3 pts

¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 alumnos tenga una media superior a 5.9?4 pts

4 pts

Si en un aula hay 50 alumnos, ¿cuántos alumnos es de esperar que tengan una nota superior a 4 puntos?3 pts

3 pts

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10 puntos

De dos sucesos de un mismo espacio muestral se sabe que

p(B|A) = 0.9 \quad p(A|B) = 0.2 \quad p(A) = 0.1

Calculad

p(A \cap B)

p(B)

.5 pts

5 pts

¿Son los sucesos

A

B

independientes? Razonad la respuesta.2 pts

2 pts

Calculad

p(A \cap \overline{B})

, donde

\overline{B}

representa el suceso complementario de

B

.3 pts

3 pts

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	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998
3.5	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998
3.6	0.9998	0.9998	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.7	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.8	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
4.0	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
4.1	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

Instrucciones

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8