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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2025

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El estudiante deberá resolver los cuatro ejercicios propuestos. En los ejercicios 2, 3 y 4 deberá contestar solamente a UNO de los dos apartados propuestos. Si resuelve más, se corregirá solo el primero de los dos apartados resueltos. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Solo se permite el uso de calculadores de tipo 1 y 2 (tal y como se indica en la información de las pruebas). Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 90 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
La concentración de virus activos en una muestra de sangre (en un tiempo tt desde que se tomó la muestra) se puede modelizar como una función f(t)=5(t+1)e−tf(t) = 5(t + 1)e^{-t}, con t≥0t \geq 0.
a
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(t)f(t) mide cómo cambia la concentración de virus activos. Calcula el tiempo en el que este cambio toma el valor más pequeño posible, es decir, el tiempo tt en el que el valor de la derivada de f(t)f(t) es mínimo.1,25 pts
b
¿Cuál sería el valor de la concentración de virus a largo plazo? Es decir, el valor cuando el tiempo tiende a infinito: lim⁡t→+∞f(t)\lim_{t \to +\infty} f(t).1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos

Elija y resuelva solo uno de los dos apartados (a o b).

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes:
a
Sean las rectas r1≡x+21=y−1−1=z+11r_1 \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{1} y r2≡x−12=y−11=z−1−1r_2 \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}.2,5 pts
a.1
Determina la ecuación de la recta, r3r_3, cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las rectas r1r_1 y r2r_2 y que pasa por el punto P(0,0,0)P(0, 0, 0).1,25 pts
a.2
Calcula la distancia de la recta r2r_2 al punto Q(−1,−1,2)Q(-1, -1, 2).1,25 pts
b
Sea la recta r≡x1=y−1=z2r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2} y el plano π≡x−y+3z=0\pi \equiv x - y + 3z = 0.2,5 pts
b.1
Determina la ecuación del plano que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano π\pi.1,25 pts
b.2
Calcula el ángulo entre la recta rr y el plano π\pi teniendo en cuenta que se cortan en el punto P(0,0,0)P(0, 0, 0).1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos

Elija y resuelva solo uno de los dos apartados (a o b).

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes.
a
Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde a∈R:{x+y+a⋅z=1x−2z=a2x+y+z=3a \in \mathbb{R}: \begin{cases} x + y + a \cdot z = 1 \\ x - 2z = a \\ 2x + y + z = 3 \end{cases}2,5 pts
a.1
Discute el sistema de ecuaciones según los valores de aa, e identifica el número de soluciones en cada caso.1,5 pts
a.2
Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para a=0a = 0.1 pt
b
Sea el sistema de ecuaciones A⋅X−B=XA \cdot X - B = X, con A=(2m11)A = \begin{pmatrix} 2 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, tal que m∈Rm \in \mathbb{R}, y B=(1110)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Además, la matriz XX es de dimensión 2×22 \times 2.2,5 pts
b.1
¿Para qué valores del parámetro mm el sistema anterior tiene solución única?1,5 pts
b.2
Para m=1m = 1, resuelve el sistema y obtén el valor de XX.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Elija y resuelva solo uno de los dos apartados (a o b).

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes:
a
Una baraja española está compuesta de 40 cartas, entre las que hay 4 ases. En un juego de azar dos jugadores compiten entre sí. El primer jugador baraja las cartas y las va sacando una a una hasta que encuentra un as. A continuación, el otro jugador vuelve a juntar todas las cartas y repite estos pasos (es decir, vuelve a barajar y va sacando cartas hasta encontrar un as). Gana el jugador que más cartas haya sacado (contando el as). Si ambos sacan el mismo número de cartas, entonces se produce un empate.2,5 pts
a.1
Calcula las probabilidades de que el as salga al sacar 1, 2 y 3 cartas, respectivamente.1,5 pts
a.2
Si el primer jugador ha sacado dos cartas (contando el as), ¿cuál es la probabilidad de que el segundo jugador le gane?1 pt
b
Una empresa produce aparatos para medir distancias. Durante el proceso de calibración realiza una serie de experimentos para medir la distancia entre dos puntos, que están separados 1,51{,}5 metros entre sí. Debido al error de los aparatos, se sabe que los valores medidos siguen una distribución normal de media 1,51{,}5 m y varianza 0,640{,}64 m2^2.2,5 pts
b.1
¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea de más de 2,12{,}1 m?0,75 pts
b.2
¿Cuál es la probabilidad de la que medición del aparato sea superior a 0,90{,}9 m?0,75 pts
b.3
¿Cuál es el valor de la distancia tal que el 80,51%80{,}51\% de las mediciones estarían por encima de él?1 pt
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