Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2010

Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} \alpha x + \alpha^3 y + z = 1 \\ \alpha x + \alpha y + z = 1 \\ \alpha^3 x + \alpha y + z = 1 \end{cases}$$ donde $\alpha$ es un parámetro real, se pide:

Dadas las matrices $A(x) = \begin{pmatrix} x + 2 & 4 & 3 \\ x + 2 & 6 & 2 \\ x + 3 & 8 & 2 \end{pmatrix}$ y $B(y) = \begin{pmatrix} y + 1 & 4 & 3 \\ y + 2 & 6 & 2 \\ y + 3 & 8 & 1 \end{pmatrix}$, se pide:

Se pide obtener razonadamente:

Dadas las dos rectas $r$ y $s$ de ecuaciones $$r: \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 4}{2} = z - 4 \quad \text{y} \quad s: x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$$ se pide calcular razonadamente:

Dadas las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = 2x^2 - x$, se pide:

Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro $(0,0)$ y radio $5$. Uno de los vértices del triángulo es el punto $A = (-5, 0)$. Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia $B = (x, y)$ y $C = (x, -y)$. Se pide obtener razonadamente: