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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2010

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales {αx+α3y+z=1αx+αy+z=1α3x+αy+z=1\begin{cases} \alpha x + \alpha^3 y + z = 1 \\ \alpha x + \alpha y + z = 1 \\ \alpha^3 x + \alpha y + z = 1 \end{cases} donde α\alpha es un parámetro real, se pide:
a
Deducir, razonadamente, para qué valores de α\alpha es compatible determinado.4 pts
b
Deducir, razonadamente, para qué valores de α\alpha es compatible indeterminado.3 pts
c
Resolver el sistema en todos los casos en que es compatible indeterminado.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se pide obtener razonadamente:
a
La ecuación del plano π\pi que pasa por los puntos O=(0,0,0)O = (0, 0, 0), A=(6,−3,0)A = (6, -3, 0) y B=(3,0,1)B = (3, 0, 1).3 pts
b
La ecuación de la recta rr que pasa por el punto P=(8,7,−2)P = (8, 7, -2) y es perpendicular al plano π\pi.3 pts
c
El punto QQ del plano π\pi cuya distancia al punto PP es menor que la distancia de cualquier otro punto del plano π\pi al punto PP.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dadas las funciones f(x)=x3f(x) = x^3 y g(x)=2x2−xg(x) = 2x^2 - x, se pide:
a
Obtener razonadamente los puntos de intersección AA y BB de las curvas y=f(x)y = f(x) e y=g(x)y = g(x).3 pts
b
Demostrar que f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) cuando x≥0x \geq 0.3 pts
c
Calcular razonadamente el área de la superficie limitada por las dos curvas entre los puntos AA y BB.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Dadas las matrices A(x)=(x+243x+262x+382)A(x) = \begin{pmatrix} x + 2 & 4 & 3 \\ x + 2 & 6 & 2 \\ x + 3 & 8 & 2 \end{pmatrix} y B(y)=(y+143y+262y+381)B(y) = \begin{pmatrix} y + 1 & 4 & 3 \\ y + 2 & 6 & 2 \\ y + 3 & 8 & 1 \end{pmatrix}, se pide:
a
Obtener razonadamente el valor de xx para que el determinante de la matriz A(x)A(x) sea 66.4 pts
b
Calcular razonadamente el determinante de la matriz A(x)2A(x)^2.2 pts
c
Demostrar que la matriz B(y)B(y) no tiene matriz inversa para ningún valor real de yy.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dadas las dos rectas rr y ss de ecuaciones r:x−43=y−42=z−4ys:x=y2=z3r: \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 4}{2} = z - 4 \quad \text{y} \quad s: x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} se pide calcular razonadamente:
a
Las coordenadas del punto PP de intersección de las rectas rr y ss.3 pts
b
El ángulo que forman las rectas rr y ss.3 pts
c
Ecuación implícita Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 del plano que contiene a las rectas rr y ss.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro (0,0)(0,0) y radio 55. Uno de los vértices del triángulo es el punto A=(−5,0)A = (-5, 0). Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia B=(x,y)B = (x, y) y C=(x,−y)C = (x, -y). Se pide obtener razonadamente:
a
El área del triángulo en función de xx.3 pts
b
Los vértices BB y CC para los que es máxima el área del triángulo.5 pts
c
El valor máximo del área del triángulo.2 pts
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