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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Debe responder sólo una pregunta de cada bloque de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque, se considerará sólo la primera pregunta respondida. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Se considera la función:f(x)={x2−bx+9x2+3,x≤0axex−1+2,x>0f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - bx + 9}{x^2 + 3}, & x \leq 0 \\ \frac{ax}{e^x - 1} + 2, & x > 0 \end{cases}
a
Estudiar los valores de los parámetros aa y bb para que f(x)f(x) sea continua y derivable en x=0x = 0.1 pt
b
Para los valores a=1a = 1 y b=−2b = -2, hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(x)f(x) en x=−1x = -1.1,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

El ayuntamiento ha decidido crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas y=x(3−x)y = x(3 - x) e y=x2−7x+8y = x^2 - 7x + 8, donde la unidad de medida es el metro. Representar un esbozo de la base metálica y calcular el presupuesto de su construcción si el precio del m2\text{m}^2 del material para construir la base metálica es de 6565 €.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es 11/511/5. La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 22 euros a la que aporta Aythami. Hallar la cantidad de dinero que aporta cada uno.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dada la siguiente matriz: Mk=(k0k0k02k−30k),k∈RM_k = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k & 0 \\ 2k - 3 & 0 & k \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}
a
Estudiar el rango de la matriz MkM_k, dependiendo de los valores del parámetro kk.0,75 pts
b
Tomamos M1M_1 como la matriz anterior para el valor k=1k = 1, y B=(−420000)B = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, hallar la matriz XX que satisface la ecuación: X⋅M1+X⋅M1T=BX \cdot M_1 + X \cdot M_1^T = B1,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:r1 ⁣:{x−3y+2z+2=02x+y−3z=3,r2 ⁣:1−x2=y=1−z2r_1 \colon \begin{cases} x - 3y + 2z + 2 = 0 \\ 2x + y - 3z = 3 \end{cases}, \qquad r_2 \colon \frac{1 - x}{2} = y = \frac{1 - z}{2}
a
Estudiar la posición relativa de las rectas anteriores.1,5 pts
b
Hallar la ecuación de la recta ss que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por P(0,1/2,0)P(0, 1/2, 0). Calcular el punto de corte de la recta ss con la recta r1r_1.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Responder a las siguientes cuestiones
a
Justificar si pueden existir vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}, que comparten el punto de origen, y cumplen que ∣u⃗∣=2,∣v⃗∣=3|\vec{u}| = 2, |\vec{v}| = 3 y u⃗⋅v⃗=8\vec{u} \cdot \vec{v} = 8.1,25 pts
b
En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta secantes siguientes:π ⁣:x+3y+2z+3=0,r ⁣:{2x−3y−z=4x+y+2z=−3\pi \colon x + 3y + 2z + 3 = 0, \quad r \colon \begin{cases} 2x - 3y - z = 4 \\ x + y + 2z = -3 \end{cases}Calcular el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Cierta enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio se tienen tres tubos con el virus A, dos con el B y cinco con el C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es 1/31/3, que la produzca B es 2/32/3 y que la produzca C es 1/71/7.
a
Se elige uno de los tubos anteriores al azar y se inocula el virus contenido en el tubo a un animal, ¿cuál es la probabilidad de que al animal le produzca la enfermedad?1,25 pts
b
Si se inocula un virus de los anteriores a un animal y no le produce la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya inyectado el virus C?1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

El delantero de un equipo de fútbol suele marcar gol en tres de cada cinco penaltis lanzados. Sabemos que realiza 7070 lanzamientos en cada entrenamiento.
a
Calcular la probabilidad de marcar entre 4040 y 4545 penaltis en un entrenamiento.1,25 pts
b
Si la probabilidad de que marque más de la mitad de los penaltis es superior al 90%90\%, se seleccionará para jugar en una categoría superior. ¿Será seleccionado este delantero? Justificar la respuesta.0,75 pts
c
Si en una temporada lanza 450450 penaltis, calcular el número de penaltis que se espera que haya marcado este jugador durante una temporada.0,5 pts
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