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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1.- Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Se considera la función: f(x)={x2−bx+9x2+3,x≤0axex−1+2,x>0f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - bx + 9}{x^2 + 3}, & x \leq 0 \\ \frac{ax}{e^x - 1} + 2, & x > 0 \end{cases}
a)1 pts
Estudiar los valores de los parámetros aa y bb para que f(x)f(x) sea continua y derivable en x=0x = 0.
b)1,5 pts
Para los valores a=1a = 1 y b=−2b = -2, hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(x)f(x) en x=−1x = -1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1.- Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

El ayuntamiento ha decidido crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas y=x(3−x)y = x(3 - x) e y=x2−7x+8y = x^2 - 7x + 8, donde la unidad de medida es el metro. Representar un esbozo de la base metálica y calcular el presupuesto de su construcción si el precio del m2\text{m}^2 del material para construir la base metálica es de 6565 €.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2.- Álgebra

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Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es 11/511/5. La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 22 euros a la que aporta Aythami. Hallar la cantidad de dinero que aporta cada uno.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2.- Álgebra

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Dada la siguiente matriz: Mk=(k0k0k02k−30k),k∈RM_k = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k & 0 \\ 2k - 3 & 0 & k \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}
a)0,75 pts
Estudiar el rango de la matriz MkM_k, dependiendo de los valores del parámetro kk.
b)1,75 pts
Tomamos M1M_1 como la matriz anterior para el valor k=1k = 1, y B=(−420000)B = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, hallar la matriz XX que satisface la ecuación: X⋅M1+X⋅M1T=BX \cdot M_1 + X \cdot M_1^T = B
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3.- Geometría

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En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes: r1 ⁣:{x−3y+2z+2=02x+y−3z=3,r2 ⁣:1−x2=y=1−z2r_1 \colon \begin{cases} x - 3y + 2z + 2 = 0 \\ 2x + y - 3z = 3 \end{cases}, \qquad r_2 \colon \frac{1 - x}{2} = y = \frac{1 - z}{2}
a)1,5 pts
Estudiar la posición relativa de las rectas anteriores.
b)1 pts
Hallar la ecuación de la recta ss que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por P(0,1/2,0)P(0, 1/2, 0). Calcular el punto de corte de la recta ss con la recta r1r_1.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3.- Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Responder a las siguientes cuestiones
a)1,25 pts
Justificar si pueden existir vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}, que comparten el punto de origen, y cumplen que ∣u⃗∣=2,∣v⃗∣=3|\vec{u}| = 2, |\vec{v}| = 3 y u⃗⋅v⃗=8\vec{u} \cdot \vec{v} = 8.
b)1,25 pts
En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta secantes siguientes: π ⁣:x+3y+2z+3=0,r ⁣:{2x−3y−z=4x+y+2z=−3\pi \colon x + 3y + 2z + 3 = 0, \quad r \colon \begin{cases} 2x - 3y - z = 4 \\ x + y + 2z = -3 \end{cases} Calcular el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4.- Probabilidad

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Cierta enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio se tienen tres tubos con el virus A, dos con el B y cinco con el C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es 1/31/3, que la produzca B es 2/32/3 y que la produzca C es 1/71/7.
a)1,25 pts
Se elige uno de los tubos anteriores al azar y se inocula el virus contenido en el tubo a un animal, ¿cuál es la probabilidad de que al animal le produzca la enfermedad?
b)1,25 pts
Si se inocula un virus de los anteriores a un animal y no le produce la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya inyectado el virus C?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4.- Probabilidad

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El delantero de un equipo de fútbol suele marcar gol en tres de cada cinco penaltis lanzados. Sabemos que realiza 7070 lanzamientos en cada entrenamiento.
a)1,25 pts
Calcular la probabilidad de marcar entre 4040 y 4545 penaltis en un entrenamiento.
b)0,75 pts
Si la probabilidad de que marque más de la mitad de los penaltis es superior al 90%90\%, se seleccionará para jugar en una categoría superior. ¿Será seleccionado este delantero? Justificar la respuesta.
c)0,5 pts
Si en una temporada lanza 450450 penaltis, calcular el número de penaltis que se espera que haya marcado este jugador durante una temporada.
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