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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAragónPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Aragón 2024

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El estudiante responderá, como máximo, a tres de las seis preguntas propuestas. En caso de realizar más de tres ejercicios, únicamente se corregirán los tres primeros que aparezcan en el tríptico y, para evitar confusiones, se recomienda numerarlo. La nota final se calculará sumando las puntuaciones obtenidas en las preguntas realizadas y dividiendo dicha suma por tres.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Responda a las siguientes cuestiones:
a
Dadas las matrices A=(21−1−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, B=(0112)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, y la ecuación matricial AX−IX=BAX - IX = B, despeje la matriz XX y resuelva dicha ecuación matricial.5 pts
b
Un producto llamado "TechGadget" puede ser adquirido a través de tres canales de venta: en tienda física (a un precio de 1010 €), en tienda online (a un precio de 66 €), y en tienda de segunda mano (a un precio de 55 €). Este mes se ha registrado un total de 1.6001.600 € en ventas de este producto. Además, se sabe que el número de unidades vendidas en tienda online es 55 veces el de unidades vendidas en tienda física, y que por las ventas en tienda de segunda mano se obtuvieron 800800 € más que por las ventas en tienda física. Plantee un sistema de ecuaciones para obtener el número de unidades del producto que se han vendido este mes por cada canal de venta y resuelva dicho anterior utilizando técnicas matriciales.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Javier disfruta mucho de los partidos de fútbol y de los conciertos, y su presupuesto anual para este tipo de ocio está limitado a 1.0001.000 euros. Cada partido de fútbol cuesta 6060 euros y cada concierto, 4040 euros. Con la condición de asistir a al menos tantos partidos de fútbol como conciertos y acudir a un máximo de 1414 partidos de fútbol al año, responda a las siguientes preguntas:
a
¿Puede Javier asistir a 88 partidos de fútbol y a 88 conciertos? En caso afirmativo, ¿gasta todo su presupuesto?2 pts
b
Si Javier busca maximizar el número de salidas para divertirse, plantee y resuelva un problema de programación lineal para determinar cuántas veces puede ir a cada sitio. ¿Cuántas escapadas disfrutará en total?8 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
El cálculo del índice de progreso real (IPR) de un país viene determinado por la función IPR(t)=−t3+54t2+480t+6.000IPR(t) = -t^3 + 54t^2 + 480t + 6.000 siendo t∈[0,62]t \in [0, 62] el número de años transcurridos desde 1.932. Se pide:
a
Estudie el crecimiento y decrecimiento del IPR del país.4 pts
b
¿En qué año el IPR alcanza su valor máximo y cuál es dicho valor? Asimismo ¿en qué año el IPR registra su valor mínimo y cuál es dicho valor?3 pts
c
Analice la concavidad y convexidad de la función IPR(t)IPR(t), e identifique, si existe, algún punto de inflexión.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea f(x)={12−xsi x<21x−x2−2xsi x>2f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2-x} & \text{si } x < 2 \\ 1 & \\ x - \sqrt{x^2 - 2x} & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Estudie la continuidad de f(x)f(x).3 pts
b
Calcule ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx.3 pts
c
Calcule lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
En España, el 30%30\% de la población tiene menos de 3030 años, el 50%50\% tiene entre 3030 y 6565 años y el 20%20\% tiene más de 6565 años. Un estudio afirma que, de las personas de menos de 3030 años, un 70%70\% tiene teléfono móvil, que de las personas entre 3030 y 6565 años, un 95%95\% tiene teléfono móvil y que de las personas de más de 6565 años, un 50%50\% tiene teléfono móvil.
a
Se elige una persona al azar. Calcule la probabilidad de que tenga más de 6565 años y posea teléfono móvil.3 pts
b
Elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga teléfono móvil?2 pts
c
Elegimos una persona al azar y resulta que tiene teléfono móvil. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 6565 años?2 pts
d
Elegimos a una persona de cada uno de los tres grupos de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres tengan teléfono móvil? (Puede suponerse independencia entre las tres personas).3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Responda a las siguientes preguntas:
Datos
  • En la tabla figuran los valores de P(Z≤k)P(Z \leq k) para una distribución normal de media 00 y desviación típica 11. Si no encuentra el valor en la tabla, elija el más próximo y en el caso de que los valores por exceso y por defecto sean iguales considere la media aritmética de los valores correspondientes.
a
En una ciudad, según los datos del INE, el 52%52\% de los habitantes son mujeres y el 48%48\% son hombres. Se eligen cuatro personas de esa ciudad con reemplazamiento. Sea XX la variable que cuenta el número de hombres seleccionados. ¿Qué distribución tiene la variable XX? Calcule P(X=2)P(X=2).2 pts
b
Queremos realizar una encuesta entre los aficionados de un equipo de fútbol para estimar, mediante un intervalo de confianza, qué proporción piensa que su equipo va a ascender a primera división el año que viene. Usaremos un nivel de confianza del 95%95\%.8 pts
b.1
Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud de más de 0,080{,}08, ¿cuál es el número mínimo de aficionados a los que tenemos que preguntar?4 pts
b.2
Decidimos preguntar a 120120 aficionados, de los cuales 8080 dicen que piensan que el equipo ascenderá. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de aficionados que piensa que el equipo va a ascender.4 pts
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