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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2019

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Un cliente hace un pedido a una fábrica de harinas que ofrece 3 tamaños distintos de sacos: pequeño, mediano y grande. Ha pedido 20 sacos pequeños, 14 medianos y 6 grandes y el peso total de su pedido es 1800 kilogramos. Si el peso de dos sacos pequeños y tres medianos es el mismo que el de dos sacos grandes y el peso de un saco grande es cuatro veces el peso de un saco pequeño.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el peso de cada tipo de saco.1,5 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1,5 puntos
Dadas las matrices A=(1331)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} y B=(15ab)B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}, encontrar los valores de los parámetros aa y bb para que las matrices conmuten.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
1,5 puntos
En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función f(x,y)=3x+4yf(x, y) = 3x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x+y≥2x + y \geq 2; x≤yx \leq y; 0≤y≤20 \leq y \leq 2; x≥0x \geq 0.
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina los vértices de la región factible.0,25 pts
c
Indica el máximo y el mínimo y sus respectivos valores.0,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Se reparten tres tipos de becas: B1B_1 por valor de 400400 euros, B2B_2 de 160160 euros y B3B_3 de 200200 euros. El dinero total destinado a las becas es de 4340043400 euros y son 145145 personas las que obtienen beca. Cada persona solamente puede obtener una beca. Sabiendo que la cantidad de personas que recibe la beca B1B_1 es 55 veces mayor que la que obtiene la beca B2B_2:
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permite averiguar qué cantidad de personas reciben cada tipo de beca.1,5 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={4x−(3/2)si x≤c(x−2)2+3/2si x>cf(x) = \begin{cases} 4x - (3/2) & \text{si } x \leq c \\ (x - 2)^2 + 3/2 & \text{si } x > c \end{cases}
a
¿Para qué valor de cc la función f(x)f(x) es continua en x=cx = c?0,5 pts
b
Para c=1c = 1, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={∣x+2∣+tsi x≤−1(x−t)2si x>−1f(x) = \begin{cases} |x + 2| + t & \text{si } x \leq -1 \\ (x - t)^2 & \text{si } x > -1 \end{cases}
a
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=−1x = -1?0,5 pts
b
Para t=3t = 3, calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (−1,+∞)(-1, +\infty).0,5 pts
c
Para t=3t = 3, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (−1,+∞)(-1, +\infty).0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
La función v(t)=48t2−2t3v(t) = 48t^2 - 2t^3 nos da el número de ordenadores afectado por un virus informático, siendo tt el tiempo (en horas) desde que se localizó el primer ordenador con virus.
a
Averigua, si existe, el momento en el que el virus dejará de propagarse.0,5 pts
b
Estudia cuando aumenta y cuando disminuye la propagación del virus.0,5 pts
c
¿En qué momento se produce el número máximo de ordenadores afectados? ¿cuántos ordenadores?0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
Sea la función f(x)=ax4+bx3+cx+1f(x) = ax^4 + bx^3 + cx + 1. Sabemos que presenta un punto de inflexión en el punto de abscisa x=0x = 0, un máximo en x=1x = 1 y la pendiente de la recta tangente en x=−1x = -1 es 2424. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros a,ba, b y cc.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
En un cierto banco el 5%5\% de los créditos concedidos son para la compra de una casa. De los créditos concedidos para la compra de una casa, el 40%40\% resultan impagados. Del resto de créditos concedidos que no son para la compra de una casa, se sabe que el 10%10\% de ellos resultan impagados.
a
Calcula la probabilidad de que elegido un crédito al azar sea de los impagados.0,75 pts
b
Sabiendo que un crédito se ha pagado, ¿cuál es la probabilidad de que el crédito fuera para una casa?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
En una clase de pintura hay 2727 alumnos, 1414 son de Albacete, 55 son de Cuenca y 88 de Toledo.
a
Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas).0,75 pts
b
Si sorteamos 55 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, ¿cuál es la probabilidad de que las 55 sean para alumnos de Cuenca?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Se ha tomado una muestra aleatoria del contenido en gramos de azúcar en frascos de 500500 gramos de kétchup en una muestra de 1010 frascos y ha resultado ser: 60,80,120,95,65,70,75,85,10060, 80, 120, 95, 65, 70, 75, 85, 100 y 9090. Suponiendo que el contenido en azúcar en gramos del kétchup se distribuye según una ley normal de desviación típica σ=10\sigma = 10 gramos, se pide:
Datos
  • σ=10 gramos\sigma = 10\,\text{gramos}
a
Halla el intervalo de confianza del 97%97\% para el contenido medio de azúcar en un frasco de 500500 gramos de kétchup.1 pt
b
Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza.0,5 pts
c
¿Crees que la media poblacional μ\mu del contenido en gramos de azúcar es de 8585 gramos con una probabilidad del 98,5%98{,}5\%? Razona tu respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
El tiempo de atención a un paciente por parte de un centro médico sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=2\sigma = 2 minutos. Se hace un estudio de los tiempos de atención de 1010 clientes al azar, siendo estos tiempos: 5,6,7,8,9,11,12,14,155, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15 y 1616 minutos respectivamente.
Datos
  • σ=2 minutos\sigma = 2\,\text{minutos}
a
Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de atención al paciente por parte del centro, con un nivel de confianza del 95%95\%.1 pt
b
¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 11 minuto?1 pt
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