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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El alumno/a debe responder solo a los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Sea la matriz A=(−1112)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
a
Determina los valores de xx e yy para los que se verifica la siguiente ecuación 3A2−xA+yI=O3A^2 - xA + yI = O, donde II es la matriz identidad de orden 2 y OO es la matriz nula de la misma orden.
b
Despeja y calcula la matriz XX en la ecuación matricial 2A+X=3A−12A + X = 3A^{-1} (A−1A^{-1} es la matriz inversa de AA).
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Ejercicio 2

2
3 puntos
El número de personas, en cientos, que visitó una exposición que permaneció abierta durante tres meses en un museo, se estimó por la función N(t)=−t3+at2+bt,0≤t≤3N(t) = -t^3 + at^2 + bt, 0 \leq t \leq 3, donde tt es el tiempo transcurrido en meses desde la inauguración.
a
Calcula los valores de aa y bb, si se sabe que en el segundo mes se alcanzó el máximo de 400 visitantes.
b
Para a=3a = 3 y b=0b = 0, estudia en qué periodo de tiempo se registró un aumento y en el que se registró una disminución del número de visitantes. Estudia la concavidad y convexidad de la función y representa su gráfica.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Unos grandes almacenes tienen a la venta un determinado artículo en dos formatos diferentes: A y B. Entre los compradores del artículo, dos de cada cinco eligen el formato A y el resto eligen el formato B. Quedan satisfechos el 80% de los que eligen el formato A y el 85% de los que eligen el formato B.
a
Determina la probabilidad de que una persona quede satisfecha con la compra del artículo.
b
Si un comprador del artículo, elegido al azar, no quedó satisfecho con la compra, ¿cuál es la probabilidad de que eligiese el formato A?
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Un estudio revela que al menos el 80% de los universitarios gallegos practican algún deporte. Elegida una muestra aleatoria de 200 universitarios gallegos se comprobó que 146 de ellos practican algún deporte.
a
Formula un test para contrastar la afirmación del estudio frente a que menos del 80% de los universitarios gallegos practican algún deporte. ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%?
b
A partir de la muestra dada, calcula un intervalo del 95% de confianza para la proporción de universitarios gallegos que practican algún deporte. Interpreta el intervalo obtenido.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Consideremos el sistema de inecuaciones y≥0,2≤y+x≤9,3y−4x≤6,2y≥3x−12y \geq 0, 2 \leq y + x \leq 9, 3y - 4x \leq 6, 2y \geq 3x - 12.
a
Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.
b
¿En qué punto o puntos de esa región alcanza los valores máximo y mínimo la función f(x,y)=4x−3y+2f(x, y) = 4x - 3y + 2?
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Los gastos de mantenimiento G(t)G(t), en miles de euros, de la maquinaria de una empresa se estiman en función del tiempo tt, en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento por:G(t)={−19t+72si 0≤t≤186−144t+14si t>18G(t) = \begin{cases} -\frac{1}{9}t + \frac{7}{2} & \text{si } 0 \leq t \leq 18 \\ 6 - \frac{144}{t + 14} & \text{si } t > 18 \end{cases}
a
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del gasto de mantenimiento. ¿En algún mes el gasto es mínimo? En ese caso, ¿a cuánto asciende?
b
Determina en qué mes o meses el gasto es de 3000 euros. Justifica y calcula el valor al que tiende el gasto con el paso del tiempo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean AA y BB sucesos tales que P(A)=0,80,P(B)=0,60P(A) = 0{,}80, P(B) = 0{,}60 y P(Aˉ∪Bˉ)=0,52P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0{,}52, donde Aˉ\bar{A} y Bˉ\bar{B} son los sucesos contrarios o complementarios de AA y BB, respectivamente.
a
Calcula P(A∩B)P(A \cap B). Justifica si son independientes o no los sucesos AA y BB.
b
Formula y calcula las probabilidades de: "que acontezca AA y no acontezca BB" y "que no acontezca ni AA ni BB".
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Ejercicio 4

4
2 puntos
El peso de las lubinas capturadas por los pesqueros de un puerto de la costa gallega se distribuye normalmente con media μ\mu y desviación típica σ=500\sigma = 500 gramos. Se elige una muestra aleatoria de 25 lubinas de dicho puerto.
Datos
  • σ=500 gramos\sigma = 500\,\text{gramos}
a
Se obtiene el intervalo de confianza (2083,2517)(2083, 2517) para la media μ\mu. Calcula el peso medio de las lubinas de la muestra y el nivel de confianza con el que se construyó el intervalo.
b
Utilizando el peso medio de la muestra obtenido en el apartado (a), formula un test para contrastar que el peso medio de las lubinas que allí se pescan es de al menos 2500 gramos como afirman los pescadores del lugar, frente a que es inferior. ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%?
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