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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2016

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sean las matrices A=(4−211)A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(4−2−31)B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}.
a)1,5 pts
Compruebe que ambas matrices son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.
b)1 pts
Determine la matriz XX que cumple la ecuación AXB=A+BAXB = A + B.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa: {x+3y+z=5ax+2z=0ay−z=a\begin{cases} x + 3y + z = 5 \\ ax + 2z = 0 \\ ay - z = a \end{cases}
a)1 pts
Determine para qué valores del parámetro aa el sistema tiene solución única. Calcule dicha solución para a=1a = 1.
b)1 pts
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c)0,5 pts
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema no tiene solución.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considere los puntos P=(2,7,3)P = (2, 7, 3), Q=(1,2,5)Q = (1, 2, 5) y R=(−1,−2,5)R = (-1, -2, 5).
a)1 pts
Calcule el área del triángulo PQRPQR.
b)0,5 pts
Determine la ecuación general (o implícita) del plano que contiene al triángulo PQRPQR.
c)1 pts
Calcule la ecuación (en cualquiera de sus formas) de la recta que pasa por PP, está contenida en el plano que contiene al triángulo PQRPQR y es perpendicular al lado QRQR.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Considere los puntos P=(1,0,0)P = (1, 0, 0), Q=(0,2,0)Q = (0, 2, 0) y R=(0,0,1)R = (0, 0, 1).
a)1,25 pts
Estudie si el triángulo PQRPQR es o no rectángulo en el vértice PP.
b)1,25 pts
Dado el punto S=(1,2,3)S = (1, 2, 3), calcule el volumen del tetraedro de vértices P,Q,RP, Q, R y SS.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Calcule los siguientes límites:
a)1,25 pts
lim⁡x→0(4+x−4−x4x)\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{4x} \right)
b)1,25 pts
lim⁡x→π/2sen⁡x(1−sen⁡x)cos⁡2x\lim_{x \to \pi / 2} \frac{\operatorname{sen} x (1 - \operatorname{sen} x)}{\cos^2 x}
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
El número de personas, medido en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa viene dado por la función f(x)=90xx2+2x+9,f(x) = \frac{90x}{x^2 + 2x + 9}, donde xx es el tiempo transcurrido, medido en días, desde que se inició el contagio.
a)0,5 pts
¿Cuál es el número de personas enfermas el cuarto día?
b)1,5 pts
¿En qué día se alcanza el máximo número de personas enfermas? ¿Cuál es ese número máximo?
c)0,5 pts
¿Puede afirmarse que la enfermedad se irá erradicando con el paso del tiempo? Razone la respuesta. (Indicación: calcule el límite de f(x)f(x) cuando x→+∞x \to +\infty y observe qué ocurre.)
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Calcule la siguiente integral indefinida ∫2x+1(x2+x+1)2dx\int \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2} dx.
b)1 pts
Determine el área del recinto limitado por el eje OXOX, las rectas verticales x=0x = 0 y x=2x = 2, y la gráfica de la función f(x)=2x+1(x2+x+1)2f(x) = \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Calcule la siguiente integral indefinida ∫x2exdx\int x^2 e^x dx.
b)1 pts
Obtenga una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=x2exf(x) = x^2 e^x que cumpla la condición F(0)=1F(0) = 1.
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