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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2016

4 ejercicios

Instrucciones

OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(4−211)A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(4−2−31)B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}.
a
Compruebe que ambas matrices son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.1,5 pts
b
Determine la matriz XX que cumple la ecuación AXB=A+BAXB = A + B.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere los puntos P=(2,7,3)P = (2, 7, 3), Q=(1,2,5)Q = (1, 2, 5) y R=(−1,−2,5)R = (-1, -2, 5).
a
Calcule el área del triángulo PQRPQR.1 pt
b
Determine la ecuación general (o implícita) del plano que contiene al triángulo PQRPQR.0,5 pts
c
Calcule la ecuación (en cualquiera de sus formas) de la recta que pasa por PP, está contenida en el plano que contiene al triángulo PQRPQR y es perpendicular al lado QRQR.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→0(4+x−4−x4x)\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{4x} \right)1,25 pts
b
lim⁡x→π/2sen⁡x(1−sen⁡x)cos⁡2x\lim_{x \to \pi / 2} \frac{\operatorname{sen} x (1 - \operatorname{sen} x)}{\cos^2 x}1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫2x+1(x2+x+1)2dx\int \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2} dx.1,5 pts
b
Determine el área del recinto limitado por el eje OXOX, las rectas verticales x=0x = 0 y x=2x = 2, y la gráfica de la función f(x)=2x+1(x2+x+1)2f(x) = \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{x+3y+z=5ax+2z=0ay−z=a\begin{cases} x + 3y + z = 5 \\ ax + 2z = 0 \\ ay - z = a \end{cases}
a
Determine para qué valores del parámetro aa el sistema tiene solución única. Calcule dicha solución para a=1a = 1.1 pt
b
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1 pt
c
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema no tiene solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere los puntos P=(1,0,0)P = (1, 0, 0), Q=(0,2,0)Q = (0, 2, 0) y R=(0,0,1)R = (0, 0, 1).
a
Estudie si el triángulo PQRPQR es o no rectángulo en el vértice PP.1,25 pts
b
Dado el punto S=(1,2,3)S = (1, 2, 3), calcule el volumen del tetraedro de vértices P,Q,RP, Q, R y SS.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El número de personas, medido en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa viene dado por la funciónf(x)=90xx2+2x+9,f(x) = \frac{90x}{x^2 + 2x + 9},donde xx es el tiempo transcurrido, medido en días, desde que se inició el contagio.
a
¿Cuál es el número de personas enfermas el cuarto día?0,5 pts
b
¿En qué día se alcanza el máximo número de personas enfermas? ¿Cuál es ese número máximo?1,5 pts
c
¿Puede afirmarse que la enfermedad se irá erradicando con el paso del tiempo? Razone la respuesta. (Indicación: calcule el límite de f(x)f(x) cuando x→+∞x \to +\infty y observe qué ocurre.)0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫x2exdx\int x^2 e^x dx.1,5 pts
b
Obtenga una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=x2exf(x) = x^2 e^x que cumpla la condición F(0)=1F(0) = 1.1 pt
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