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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2024

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen consta de 5 partes, de 2,5 cada una. Se debe responder a 4 de ellas, y una pregunta de cada parte. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio A1 · Opción A

A1Opción A
2,5 puntos
Primera parte
Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro α\alpha:{αx+y+z=2,x+2y+(α−1)z=−1,2x+y+(α−2)z=1.\begin{cases} \alpha x + y + z = 2, \\ x + 2y + (\alpha-1)z = -1, \\ 2x + y + (\alpha-2)z = 1. \end{cases}**(0,5 p)** Resuelve el sistema, si es posible, en el caso α=1\alpha = 1.
main
Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro α\alpha: {αx+y+z=2,x+2y+(α−1)z=−1,2x+y+(α−2)z=1.\begin{cases} \alpha x + y + z = 2, \\ x + 2y + (\alpha-1)z = -1, \\ 2x + y + (\alpha-2)z = 1. \end{cases}2 pts
extra
Resuelve el sistema, si es posible, en el caso α=1\alpha = 1.0,5 pts
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Ejercicio A2 · Opción A

A2Opción A
2,5 puntos
Segunda parte
Se consideran las siguientes rectas:r≡{x=2λ,y=−1+4λ,z=2−λ;s≡{2x−y=1,z=3.r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda, \\ y = -1 + 4\lambda, \\ z = 2 - \lambda; \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - y = 1, \\ z = 3. \end{cases}**(a) (1 p)** Calcula la posición relativa de las rectas rr y ss. **(b) (0,75 p)** Calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. **(c) (0,75 p)** Dado el punto P(−8,−8,0)P(-8,-8,0), calcula el punto QQ de la recta rr de modo que el vector PQ→\overrightarrow{PQ} sea perpendicular a la recta rr.
a
Calcula la posición relativa de las rectas rr y ss.1 pt
b
Calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.0,75 pts
c
Dado el punto P(−8,−8,0)P(-8,-8,0), calcula el punto QQ de la recta rr de modo que el vector PQ→\overrightarrow{PQ} sea perpendicular a la recta rr.0,75 pts
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Ejercicio A3 · Opción A

A3Opción A
2,5 puntos
Tercera parte
Sea f(x)=xx2−2x+1f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 2x + 1}. **(a) (0,5 p)** Encuentra las asíntotas de ff. **(b) (1 p)** Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff. **(c) (0,5 p)** Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0. **(d) (0,5 p)** Haz una representación aproximada de la gráfica de la función ff.
a
Encuentra las asíntotas de ff.0,5 pts
b
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.1 pt
c
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.0,5 pts
d
Haz una representación aproximada de la gráfica de la función ff.0,5 pts
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Ejercicio A4 · Opción A

A4Opción A
2,5 puntos
Cuarta parte
Calcula las dos integrales siguientes: **(a) (1,25 p)** ∫2−3x+x3x2+2x+1 dx\displaystyle\int \dfrac{2 - 3x + x^3}{x^2 + 2x + 1}\,dx. **(b) (1,25 p)** ∫2−3xx2+2x+1 dx\displaystyle\int \dfrac{2 - 3x}{x^2 + 2x + 1}\,dx.
a
∫2−3x+x3x2+2x+1 dx\displaystyle\int \dfrac{2 - 3x + x^3}{x^2 + 2x + 1}\,dx.1,25 pts
b
∫2−3xx2+2x+1 dx\displaystyle\int \dfrac{2 - 3x}{x^2 + 2x + 1}\,dx.1,25 pts
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Ejercicio A5 · Opción A

A5Opción A
2,5 puntos
Quinta parte
Tenemos dos urnas con bolas de colores. La urna A contiene 3 bolas verdes, 5 bolas rojas y 4 bolas azules. La urna B contiene 2 bolas verdes, 2 bolas rojas y 3 bolas azules. Se saca, al azar, una bola de la urna A y se mete en la urna B. Posteriormente se saca una bola de la urna B. **(a) (0,5 p)** Realiza el correspondiente diagrama de árbol. **(b) (0,75 p)** Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde. **(c) (0,5 p)** Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde sabiendo que la bola extraída de la urna A ha sido roja. **(d) (0,75 p)** Sabiendo que la bola extraída de la urna B es verde, calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna A haya sido roja.
a
Realiza el correspondiente diagrama de árbol.0,5 pts
b
Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde.0,75 pts
c
Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde sabiendo que la bola extraída de la urna A ha sido roja.0,5 pts
d
Sabiendo que la bola extraída de la urna B es verde, calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna A haya sido roja.0,75 pts
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Ejercicio B1 · Opción B

B1Opción B
2,5 puntos
Primera parte
Se sabe que ∣abcpqrxyz∣=2\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2. Calcula, explicando las propiedades aplicadas, **(a) (1,5 p)** ∣3a3b3ca−pb−qc−r2x−a2y−b2z−c∣\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ a-p & b-q & c-r \\ 2x-a & 2y-b & 2z-c \end{vmatrix}. **(b) (1 p)** ∣ax2pby2qcz2r∣\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix}.
a
Calcula ∣3a3b3ca−pb−qc−r2x−a2y−b2z−c∣\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ a-p & b-q & c-r \\ 2x-a & 2y-b & 2z-c \end{vmatrix}, explicando las propiedades aplicadas.1,5 pts
b
Calcula ∣ax2pby2qcz2r∣\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix}, explicando las propiedades aplicadas.1 pt
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Ejercicio B2 · Opción B

B2Opción B
2,5 puntos
Segunda parte
Dados los puntos P1(1,4,5)P_1(1,4,5), P2(1,2,−1)P_2(1,2,-1), P3(0,−2,3)P_3(0,-2,3) y P4(−2,0,1)P_4(-2,0,1), calcula: **(a) (1 p)** la ecuación del plano π\pi que contiene a los puntos P2P_2, P3P_3 y P4P_4. **(b) (1,5 p)** el punto simétrico de P1P_1 respecto del plano π\pi.
a
la ecuación del plano π\pi que contiene a los puntos P2P_2, P3P_3 y P4P_4.1 pt
b
el punto simétrico de P1P_1 respecto del plano π\pi.1,5 pts
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Ejercicio B3 · Opción B

B3Opción B
2,5 puntos
Tercera parte
Se sabe que la función f(x)=Ax4+Bx2+Cf(x) = Ax^4 + Bx^2 + C tiene un extremo relativo cuando x=1/2x = 1/2 y la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=1x = 1 es y=6x−2y = 6x - 2. **(a) (1,5 p)** Encuentra los valores de los parámetros AA, BB y CC. **(b) (1 p)** Encuentra todos los extremos relativos de la función ff y razona si son máximos o mínimos.
a
Encuentra los valores de los parámetros AA, BB y CC.1,5 pts
b
Encuentra todos los extremos relativos de la función ff y razona si son máximos o mínimos.1 pt
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Ejercicio B4 · Opción B

B4Opción B
2,5 puntos
Cuarta parte
Se consideran las curvas de ecuaciones y=x2y = x^2 e y=x23y = \dfrac{x^2}{3} y la recta de ecuación y=xy = x. **(a) (1,25 p)** Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas. **(b) (1,25 p)** Calcula el área de ese recinto.
a
Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.1,25 pts
b
Calcula el área de ese recinto.1,25 pts
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Ejercicio B5 · Opción B

B5Opción B
2,5 puntos
Quinta parte
Tras la realización de un estudio, se ha llegado a la conclusión de que el tiempo medio que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar es de 45 segundos, con una desviación típica de 7,3 segundos, ajustándose los datos a una distribución normal. **(a) (1 p)** Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos. **(b) (1,5 p)** Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos.
a
Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos.1 pt
b
Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos.1,5 pts
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