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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2025

5 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. – El examen consta de 3 apartados, todos ellos obligatorios. Cada apartado contiene una o dos opciones. Cuando en un apartado haya dos opciones, se escogerá únicamente una. – En caso de resolver más de una opción en algún apartado, se corregirá únicamente la que aparezca en primer lugar en el cuadernillo del examen. – Se valorará positivamente la explicación de los diferentes pasos seguidos en la resolución de cada ejercicio, así como la claridad de exposición. No se admitirá ningún resultado que no esté debidamente justificado. – Se permitirá el uso de reglas y calculadoras que no sean programables, ni gráficas o con capacidad para almacenar y/o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. – Durante el desarrollo del ejercicio no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Apartado 1

Elija una de las dos opciones del Apartado 1.

Dadas las matrices:M=(10a0a1165) y N=(1010201−11) M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 6 & 5 \end{pmatrix} \text{ y } N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} Realice las siguientes tareas:
a
Estudie para qué valores del parámetro aa la matriz MM tiene inversa.1 pt
b
Para a=1a = 1, obtenga la matriz XX de la siguiente ecuación:MX=2N. M X = 2 N. 2 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Apartado 1

Elija una de las dos opciones del Apartado 1.

Un pastelero dispone de un máximo de 810810 minutos para producir una serie de sobaos y quesadas. Para la elaboración de cada sobao se requieren 4545 minutos y 200200 gramos de mantequilla, y para la elaboración de cada quesada se requieren 9090 minutos y 100100 gramos de mantequilla. Por limitaciones logísticas, la cantidad total de sobaos y quesadas producidas no puede exceder de 1111 unidades y se dispone únicamente de 16001600 gramos de mantequilla. El beneficio que se obtiene por cada sobao es de 1,51{,}5€ y el que se obtiene por cada quesada es de 22€. La intención del pastelero es maximizar el beneficio total. Realice las siguientes tareas:
a
Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.1 pt
b
Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.1 pt
c
¿Cuántos sobaos y cuántas quesadas se deben fabricar para maximizar el beneficio total?0,75 pts
d
¿A cuánto asciende dicho beneficio?0,25 pts
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Ejercicio 3

3
4 puntos
Apartado 2
Dada la función f(x)f(x):f(x)=(x+2)(x−3)2 f(x) = (x + 2)(x - 3)^2 Realice las siguientes tareas:
a
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función e identifique los extremos relativos.1,5 pts
b
Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función f(x)f(x) con los ejes coordenados. A continuación, represente gráficamente f(x)f(x) señalando dichos puntos de corte y los extremos relativos.1 pt
c
Calcule el área del recinto delimitado por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje de abscisas xx.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
3 puntos
Apartado 3

Elija una de las dos opciones del Apartado 3.

Se sabe que el número de viajes realizados mensualmente por los usuarios de una línea de autobuses sigue una distribución normal con desviación estándar σ=5\sigma = 5. Para una muestra de 225225 usuarios, seleccionados aleatoriamente, se obtiene una media de 2121 viajes por mes. Realice las siguientes tareas:
a
Calcule el intervalo de confianza del 93%93\% para la media de los viajes mensuales.1,5 pts
b
Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de dicha media, con un nivel de confianza del 97%97\%, sea de 11 viaje al mes.1,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
3 puntos
Apartado 3

Elija una de las dos opciones del Apartado 3.

En una compañía de seguros de automóviles, el 17%17\% de los clientes tiene menos de 3030 años, el 60%60\% tiene entre 3030 y 6060 años, y el resto es mayor de 6060 años. El historial de partes de accidente del último año indica lo siguiente: • entre los menores de 3030 años, 33 de cada 55 no presentaron ningún parte; • entre los clientes de 3030 a 6060 años, 99 de cada 1010 no presentaron ningún parte; • entre los mayores de 6060 años, 33 de cada 44 no presentaron ningún parte. Se selecciona al azar un cliente de la compañía. Realice las siguientes tareas:
Datos
  • P(z≤z0)=12π∫−∞z0e−z22dzP(z \leq z_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z_0} e^{\frac{-z^2}{2}} dz
Gráfica de la distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta el valor z0.
a
¿Cuál es la probabilidad de que el cliente seleccionado presentara un parte de accidente el año pasado?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga 3030 años o más y no presentara un parte de accidente el año pasado?1 pt
c
Si se sabe que el cliente presentó un parte de accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 3030 años?1 pt
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