Matemáticas II · Galicia 2017

Determina, según los valores de $\lambda$, el rango de la matriz $AA^t - \lambda I$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ e $I$ la matriz unidad de orden 2.

Determina la matriz $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ que verifica la ecuación matricial $AA^t X = 6X$.

Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ x - z = m \\ x + y - z = 1 \end{cases}$$

Resuélvelo, si es posible, cuando $m = 1$.

Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\sen^2 x - 3x^2}{e^{x^2} - \cos 2x}$.

Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de $80\,\text{dm}^3$. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta $2\,\text{€/dm}^2$ y para la base otro que cuesta $3\,\text{€/dm}^2$. Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

Calcula $\int_{0}^{1} x \ln(1 + x) \, dx$.

Calcula los valores $a, b$ para que la función $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 3 \\ \ln(x - 2) & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ sea derivable en $x = 3$ y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de $f(x)$ es paralela a la recta $x + 3y = 0$.

Si $P(x)$ es un polinomio de tercer grado, con un punto de inflexión en el punto $(0, 5)$ y un extremo relativo en el punto $(1, 1)$, calcula $\int_{0}^{1} P(x) \, dx$.

Estudia la posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$. Si se cortan, calcula el ángulo que forman.

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(1, 1, 1)$ y es perpendicular a $\pi_1$. Calcula el punto de corte de $r$ y $\pi_1$.

Calcula el punto simétrico del punto $P(1, 1, 1)$ respecto del plano $\pi_1$.

Calcula la distancia del punto $A(5, -1, 6)$ a la recta $r$.

Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a $r$ y pasa por el punto $A(5, -1, 6)$.

Calcula el área del triángulo de vértices los puntos $P(1, 0, 5)$, $A(5, -1, 6)$ y el punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$.

En un experimento aleatorio, sean $A$ y $B$ dos sucesos con $P(\bar{A}) = 0{,}4$ y $P(B) = 0{,}7$. Si $A$ y $B$ son independientes, calcula $P(A \cup B)$ y $P(A - B)$. (Nota: $\bar{A}$ suceso contrario o complementario de $A$).

En un grupo de 100 personas hay 40 hombres y 60 mujeres. Se eligen al azar 4 personas del grupo, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar más mujeres que hombres?

Calcula la probabilidad de que el paciente sea mujer.

Si el paciente elegido es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea fumador?