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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2017

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno/a debe responder solo los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1= 2 puntos, ejercicio 2= 3 puntos, ejercicio 3= 3 puntos, ejercicio 4= 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(11)(11)A = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Determina, según los valores de λ\lambda, el rango de la matriz AAt−λIAA^t - \lambda I, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA e II la matriz unidad de orden 2.1 pt
b
Determina la matriz X=(xy)X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} que verifica la ecuación matricial AAtX=6XAA^t X = 6X.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula lim⁡x→0sen⁡2x−3x2ex2−cos⁡2x\lim_{x \to 0} \frac{\sen^2 x - 3x^2}{e^{x^2} - \cos 2x}.0,5 pts
b
Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm380\,\text{dm}^3. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm22\,\text{€/dm}^2 y para la base otro que cuesta 3 €/dm23\,\text{€/dm}^2. Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.1,25 pts
c
Calcula ∫01xln⁡(1+x) dx\int_{0}^{1} x \ln(1 + x) \, dx.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Dados los planos π1:x+y−z+2=0\pi_1: x + y - z + 2 = 0 y π2:{x=2+λ+μy=λ+3μz=−1−λ\pi_2: \begin{cases} x = 2 + \lambda + \mu \\ y = \lambda + 3\mu \\ z = -1 - \lambda \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de π1\pi_1 y π2\pi_2. Si se cortan, calcula el ángulo que forman.1 pt
b
Sea rr la recta que pasa por el punto P(1,1,1)P(1, 1, 1) y es perpendicular a π1\pi_1. Calcula el punto de corte de rr y π1\pi_1.1 pt
c
Calcula el punto simétrico del punto P(1,1,1)P(1, 1, 1) respecto del plano π1\pi_1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
En un experimento aleatorio, sean AA y BB dos sucesos con P(Aˉ)=0,4P(\bar{A}) = 0{,}4 y P(B)=0,7P(B) = 0{,}7. Si AA y BB son independientes, calcula P(A∪B)P(A \cup B) y P(A−B)P(A - B). (Nota: Aˉ\bar{A} suceso contrario o complementario de AA).1 pt
b
En un grupo de 100 personas hay 40 hombres y 60 mujeres. Se eligen al azar 4 personas del grupo, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar más mujeres que hombres?1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el sistema de ecuaciones:{x+2y−z=1x−z=mx+y−z=1\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ x - z = m \\ x + y - z = 1 \end{cases}1 pt
b
Resuélvelo, si es posible, cuando m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula los valores a,ba, b para que la función f(x)={ax2+bsi x<3ln⁡(x−2)si x≥3f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 3 \\ \ln(x - 2) & \text{si } x \geq 3 \end{cases} sea derivable en x=3x = 3 y determina el punto en el que la tangente a la gráfica de f(x)f(x) es paralela a la recta x+3y=0x + 3y = 0.1,5 pts
b
Si P(x)P(x) es un polinomio de tercer grado, con un punto de inflexión en el punto (0,5)(0, 5) y un extremo relativo en el punto (1,1)(1, 1), calcula ∫01P(x) dx\int_{0}^{1} P(x) \, dx.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos P(1,0,5)P(1, 0, 5) y Q(5,2,3)Q(5, 2, 3).
a
Calcula la distancia del punto A(5,−1,6)A(5, -1, 6) a la recta rr.1 pt
b
Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a rr y pasa por el punto A(5,−1,6)A(5, -1, 6).1 pt
c
Calcula el área del triángulo de vértices los puntos P(1,0,5)P(1, 0, 5), A(5,−1,6)A(5, -1, 6) y el punto de corte de la recta rr con el plano π:2x+y−z−3=0\pi: 2x + y - z - 3 = 0.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En un estudio realizado en un centro de salud, se observó que el 30% de los pacientes son fumadores y de estos, el 60% son hombres. Entre los pacientes que no son fumadores, el 70% son mujeres. Elegido un paciente al azar,
a
Calcula la probabilidad de que el paciente sea mujer.1 pt
b
Si el paciente elegido es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea fumador?1 pt
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