Matemáticas II · Navarra 2021

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} ax + (a - 2)y = a - 2 \\ ax + (a^2 - 2a)y + 2z = a \\ 3ax + (a^2 - 4)y + z = 4a - 4 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula los valores de $t$ para que se cumpla $|A \cdot B^{-1}| = 1$, siendo $A$ y $B$ las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & t & -t \\ 2t - 1 & t - 1 & t \\ t - 2 & 0 & t - 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} t - 1 & t & -t \\ 1 - 2t & 2t & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcula la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las siguientes rectas: $$r \equiv \begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 6}{-1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 2}{2}$$

Halla un plano que sea tangente a la esfera de radio 3 y centro $(0,0,0)$, y que corte perpendicularmente a la recta $$r \equiv \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 4}{-2}$$ Encuentra el punto de tangencia del plano con la esfera, y calcula la ecuación continua de la recta que pasa por ese punto y corta perpendicularmente a $r$.

Calcula los siguientes límites:

Se considera la función $f(x) = \log_2 \left[ \sen \frac{\pi(x + 1)}{4} + 2^{\frac{x - 5}{2}} \right]$.

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x + \sen \frac{\pi x}{2}}$

Teniendo en cuenta los datos que aparecen en el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada.