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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2021

8 ejercicios

Instrucciones

Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{ax+(a−2)y=a−2ax+(a2−2a)y+2z=a3ax+(a2−4)y+z=4a−4 \begin{cases} ax + (a - 2)y = a - 2 \\ ax + (a^2 - 2a)y + 2z = a \\ 3ax + (a^2 - 4)y + z = 4a - 4 \end{cases} Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula los valores de tt para que se cumpla ∣A⋅B−1∣=1|A \cdot B^{-1}| = 1, siendo AA y BB las siguientes matrices:A=(1t−t2t−1t−1tt−20t−2)yB=(t−1t−t1−2t2t−10−11)A = \begin{pmatrix} 1 & t & -t \\ 2t - 1 & t - 1 & t \\ t - 2 & 0 & t - 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} t - 1 & t & -t \\ 1 - 2t & 2t & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcula la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:r≡{2y+z=0x+y=0ys≡x−6−1=y−65=z−22r \equiv \begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 6}{-1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 2}{2}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Halla un plano que sea tangente a la esfera de radio 3 y centro (0,0,0)(0,0,0), y que corte perpendicularmente a la rectar≡x−32=y−41=z+4−2r \equiv \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 4}{-2}Encuentra el punto de tangencia del plano con la esfera, y calcula la ecuación continua de la recta que pasa por ese punto y corta perpendicularmente a rr.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞x3x3+2x2−3x3\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^3 + 2x^2} - \sqrt{3x^3}}1,25 pts
b
lim⁡x→∞x⋅sen⁡1x\lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \sen \frac{1}{x}1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=log⁡2[sen⁡π(x+1)4+2x−52]f(x) = \log_2 \left[ \sen \frac{\pi(x + 1)}{4} + 2^{\frac{x - 5}{2}} \right].
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [6,7][6, 7].1 pt
b
Demuestra que existe un valor α∈(6,7)\alpha \in (6, 7) tal que f(α)=0f(\alpha) = 0. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=x+sen⁡πx2f(x) = \sqrt{x + \sen \frac{\pi x}{2}}
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [1,3][1, 3].0,75 pts
b
Demuestra que existen dos valores α∈(1,2)\alpha \in (1, 2) y β∈(2,3)\beta \in (2, 3) tales que f′(α)=f′(β)=0f'(\alpha) = f'(\beta) = 0. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,75 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Teniendo en cuenta los datos que aparecen en el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada.
Gráfico de una parábola $f(x) = -x^2 - 4x$ y una recta que se cruzan, delimitando una región sombreada. La recta pasa por el origen y corta a la parábola en un punto con ordenada $y=3$.
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